Завдання № 17. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи може точка перетину діагоналей трапеції бути її центром симетрії?

Покроковий розв’язок:

1. Означення центральної симетрії для чотирикутника
Якщо точка $O$ є центром симетрії трапеції $ABCD$, то при симетрії відносно цієї точки кожна вершина фігури повинна відображатися у відповідну їй вершину цієї ж трапеції.

Оскільки точка $O$ є точкою перетину діагоналей $AC$ і $BD$, вона лежить на кожній із них:

• точка $A$ при центральній симетрії відносно точки $O$ має переходити у вершину $C$, звідки випливає, що точка $O$ є серединою відрізка $AC$, тобто $AO=OC$;
• точка $B$ при центральній симетрії відносно точки $O$ має переходити у вершину $D$, отже, точка $O$ є серединою відрізка $BD$, тобто $BO=OD$.

2. Застосування ознаки паралелограма
За ознакою паралелограма, якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл ($AO=OC$ та $BO=OD$), то такий чотирикутник обов’язково є паралелограмом.

У паралелограма протилежні сторони попарно паралельні: $AB\parallel CD$ та $BC\parallel AD$.

3. Суперечність з означенням трапеції
За означенням трапеції, чотирикутник є трапецією, якщо дві його сторони паралельні (основи), а дві інші сторони не паралельні (бічні сторони).

Оскільки в будь-якій трапеції основи паралельні, але мають різну довжину ($BC\ne AD$), то трикутники $△BOC$ та $△DOA$ є подібними, проте не рівними:
$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}\ne 1$
Це означає, що $AO\ne OC$, тобто діагоналі трапеції точкою перетину ніколи не діляться навпіл.

Отже, точка перетину діагоналей не може бути центром симетрії трапеції (і трапеція взагалі не має центра симетрії).

Відповідь:
Ні, не може.