Завдання № 17. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано відрізок завдовжки $a$. Побудуйте правильний шестикутник, сторона якого дорівнює $a\sqrt{2}$.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування та план побудови

• Відомо, що сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу цього кола:
  $a_6=R$
  Отже, радіус описаного навколо шуканого шестикутника кола має дорівнювати:
  $R=a\sqrt{2}$
• Для побудови відрізка завдовжки $a\sqrt{2}$ скористаємося теоремою Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника з катетами, рівними $a$:
  $c=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2\cdot a^2}=a\sqrt{2}$
  Таким чином, гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами завдовжки $a$ дорівнює шуканому радіусу кола та стороні шестикутника.

2. Побудова допоміжного відрізка

• Будуємо прямий кут із вершиною в точці $A$ ($\angle A=90^{\circ }$).
• За допомогою циркуля на сторонах прямого кута відкладаємо відрізки заданої довжини $a$:
  $AB=a,AC=a$
• Сполучаємо точки $B$ і $C$. Отриманий відрізок $BC$ є гіпотенузою трикутника $△ABC$, довжина якої дорівнює $a\sqrt{2}$.

3. Побудова правильного шестикутника

• Позначаємо довільну точку $O$ як центр кола.
• Розхилом циркуля, що дорівнює довжині відрізка $BC$ ($R=a\sqrt{2}$), будуємо коло із центром у точці $O$.
• Вибираємо на колі довільну початкову точку $A_1$.
• Тим самим розхилом циркуля ($a\sqrt{2}$) послідовно виконуємо засічки на колі, отримуючи вершини $A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$. Оскільки радіус кола збігається зі стороною шестикутника, коло ділиться точно на $6$ рівних дуг.
• Послідовно сполучаємо вершини відрізками: $A_1{A}_2$, $A_2{A}_3$, $A_3{A}_4$, $A_4{A}_5$, $A_5{A}_6$ та $A_6{A}_1$.

Шестикутник $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ — шуканий правильний шестикутник зі стороною $a\sqrt{2}$.

Відповідь:
Побудовано шуканий правильний шестикутник $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ зі стороною $a\sqrt{2}$ (як шестикутник, вписаний у коло радіуса $R=a\sqrt{2}$).