Завдання № 17. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Навколо чотирикутника, сторони якого в порядку слідування дорівнюють $a$, $b$, $c$ і $d$, можна описати коло. Знайдіть косинус кута між сторонами $a$ і $b$.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість вписаного чотирикутника

Нехай дано чотирикутник $ABCD$, навколо якого описано коло. За умовою його сторони в порядку слідування дорівнюють:
$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$

Потрібно знайти $\cos \angle B$. Позначимо кут між сторонами $a$ та $b$ як $\angle B=\alpha$.

За властивістю чотирикутника, вписаного в коло, сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle B+\angle D=180^{\circ }$

Звідси протилежний кут $\angle D$ дорівнює:
$\angle D=180^{\circ }-\alpha$

2. Застосування теореми косинусів

Проведемо діагональ $AC$, яка розділяє чотирикутник на два трикутники: $△ABC$ і $△ADC$.

1) У трикутнику $△ABC$ за теоремою косинусів для сторони $AC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$
$A{C}^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha$

2) У трикутнику $△ADC$ за теоремою косинусів для сторони $AC$:
$A{C}^2=D{A}^2+C{D}^2-2\cdot DA\cdot CD\cdot \cos \angle D$
$A{C}^2=d^2+c^2-2\cdot c\cdot d\cdot \cos (180^{\circ }-\alpha )$

Використаємо тригонометричну формулу зведення $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$:
$A{C}^2=c^2+d^2+2\cdot c\cdot d\cdot \cos \alpha$

3. Знаходження шуканого косинуса

Прирівняємо обидва вирази для квадрата діагоналі $A{C}^2$:
$a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha =c^2+d^2+2\cdot c\cdot d\cdot \cos \alpha$

Перенесемо доданки з $\cos \alpha$ в один бік рівняння, а відомі сторони — в інший:
$2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha +2\cdot c\cdot d\cdot \cos \alpha =a^2+b^2-c^2-d^2$

Винесемо спільний множник $2\cos \alpha$ за дужки:
$2(ab+cd)\cdot \cos \alpha =a^2+b^2-c^2-d^2$

Звідси виражаємо $\cos \alpha$:
$\cos \alpha =\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$

Відповідь: $\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$