Завдання № 17. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У ромбі $ABCD$ діагоналі дорівнюють $AC=8$ та $BD=6$ (мал. 3). Знайдіть координати векторів $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DA}$ і $\overrightarrow{CA}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення координат вершин ромба

За властивістю ромба, його діагоналі перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл.

З малюнка видно, що точка перетину діагоналей збігається з початком координат $O(0;0)$, діагональ $AC$ лежить на осі абсцис ($Ox$), а діагональ $BD$ — на осі ординат ($Oy$).

Обчислимо відстані від початку координат до вершин:
$OA=OC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$
$OB=OD=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3$

Враховуючи розташування вершин на координатних променях:

• точка $A$ лежить на додатній півосі $Ox$, тому $A(4;0)$;
• точка $C$ лежить на від’ємній півосі $Ox$, тому $C(-4;0)$;
• точка $B$ лежить на додатній півосі $Oy$, тому $B(0;3)$;
• точка $D$ лежить на від’ємній півосі $Oy$, тому $D(0;-3)$.

2. Обчислення координат векторів

Координати вектора з початком у точці $M(x_1;y_1)$ і кінцем у точці $N(x_2;y_2)$ знаходять за формулою:
$\overrightarrow{MN}(x_2-x_1;y_2-y_1)$

• Для вектора $\overrightarrow{AB}$:
  $x=0-4=-4$
  $y=3-0=3$
  Отже, $\overrightarrow{AB}(-4;3)$.

• Для вектора $\overrightarrow{CD}$:
  $x=0-(-4)=4$
  $y=-3-0=-3$
  Отже, $\overrightarrow{CD}(4;-3)$.

• Для вектора $\overrightarrow{DA}$:
  $x=4-0=4$
  $y=0-(-3)=3$
  Отже, $\overrightarrow{DA}(4;3)$.

• Для вектора $\overrightarrow{CA}$:
  $x=4-(-4)=8$
  $y=0-0=0$
  Отже, $\overrightarrow{CA}(8;0)$.

Відповідь: $\overrightarrow{AB}(-4;3)$, $\overrightarrow{CD}(4;-3)$, $\overrightarrow{DA}(4;3)$, $\overrightarrow{CA}(8;0)$.