Завдання № 17. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо цей кут:

1) на $30^{\circ }$ менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони;

2) на $70^{\circ }$ менший від кута між діагоналями прямокутника, що лежить проти більшої сторони.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано прямокутник $ABCD$, у якого сторона $AB$ менша за сторону $BC$ ($AB<BC$). Діагоналі прямокутника $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$.

Шуканим є кут між меншою стороною $AB$ та діагоналлю $AC$, тобто $\angle BAC$. Позначимо його градусну міру через $x$:
$\angle BAC=x$

Властивості фігури та вираження кутів між діагоналями:

1) За властивістю прямокутника його діагоналі рівні ($AC=BD$) і точкою перетину діляться навпіл:
$AO=BO=CO=DO$

2) Оскільки $AO=BO$, трикутник $△AOB$ є рівнобедреним з основою $AB$. Отже, кути при його основі рівні:
$\angle ABO=\angle BAO=x$

3) Кут між діагоналями, що лежить проти меншої сторони $AB$, — це кут $\angle AOB$. За теоремою про суму кутів трикутника $△AOB$:
$\angle AOB=180^{\circ }-(\angle BAO+\angle ABO)=180^{\circ }-2x$

4) Кут між діагоналями, що лежить проти більшої сторони $BC$, — це кут $\angle BOC$. Оскільки кути $\angle AOB$ та $\angle BOC$ є суміжними:
$\angle BOC=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-(180^{\circ }-2x)=2x$

1. Кут між меншою стороною і діагоналлю на $30^{\circ }$ менший від кута $\angle AOB$:

За умовою:
$\angle AOB-\angle BAC=30^{\circ }$

Складемо та розв’яжемо рівняння:
$180^{\circ }-2x-x=30^{\circ }$
$180^{\circ }-3x=30^{\circ }$
$3x=150^{\circ }$
$x=50^{\circ }$

Отже, кут між меншою стороною і діагоналлю дорівнює $50^{\circ }$.

2. Кут між меншою стороною і діагоналлю на $70^{\circ }$ менший від кута $\angle BOC$:

За умовою:
$\angle BOC-\angle BAC=70^{\circ }$

Складемо та розв’яжемо рівняння:
$2x-x=70^{\circ }$
$x=70^{\circ }$

Отже, кут між меншою стороною і діагоналлю дорівнює $70^{\circ }$.

Відповідь:

1) $50^{\circ }$;

2) $70^{\circ }$.