Завдання № 17.42. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Точки $A$, $B$, $C$ і $D$ є вершинами опуклого чотирикутника. П’ять із шести можливих відстаней між парами цих точок дорівнюють $1$, $1$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $3$. Знайдіть шосту відстань.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз можливих довжин за нерівністю трикутника

Між чотирма точками існує $\frac{4\cdot 3}{2}=6$ відстаней (чотири сторони та дві діагоналі чотирикутника). Нам відомі п’ять із них: $1$, $1$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $3$.

Розглянемо найбільшу відому відстань, яка дорівнює $3$. Нехай це відрізок $CD=3$.
Будь-яка третя вершина разом із точками $C$ і $D$ утворює трикутник, сторони якого мають задовольняти нерівність трикутника (сума двох будь-яких сторін повинна бути строго більшою за третю):

• Відрізки довжиною $1$ і $1$ не можуть утворювати трикутник зі стороною $3$, оскільки $1+1=2<3$.
• Відрізки довжиною $1$ та $\sqrt{3}$ також не можуть, оскільки $1+\sqrt{3}\approx 1+1,732=2,732<3$.
• Відрізки довжиною $\sqrt{3}$ та $\sqrt{3}$ задовольняють нерівність: $\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,464>3$.

Отже, одна з вершин (позначимо її $A$) обов’язково сполучена з точками $C$ і $D$ відрізками довжиною $\sqrt{3}$. Тобто в $△ACD$:
$AC=\sqrt{3},AD=\sqrt{3},CD=3$

Тоді дві відстані, що залишилися серед відомих, — це відстані від точки $B$ до точок $A$ і $C$:
$AB=1,BC=1$

Невідомою шостою відстанню є довжина діагоналі $BD$.

2. Обчислення кута $\angle ACD$ у $△ACD$

За теоремою косинусів для сторони $AD$ у $△ACD$:
$A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2-2\cdot AC\cdot CD\cdot \cos \angle ACD$

Підставимо значення сторін:
$(\sqrt{3}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+3^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 3\cdot \cos \angle ACD$
$3=3+9-6\sqrt{3}\cdot \cos \angle ACD$
$6\sqrt{3}\cdot \cos \angle ACD=9$
$\cos \angle ACD=\frac{9}{6\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Звідси:
$\angle ACD=30^{\circ }$

3. Обчислення кута $\angle BCA$ у $△ABC$

За теоремою косинусів для сторони $AB$ у $△ABC$:
$A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos \angle BCA$

Підставимо значення сторін:
$1^2=1^2+(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{3}\cdot \cos \angle BCA$
$1=1+3-2\sqrt{3}\cdot \cos \angle BCA$
$2\sqrt{3}\cdot \cos \angle BCA=3$
$\cos \angle BCA=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Звідси:
$\angle BCA=30^{\circ }$

4. Знаходження шуканої відстані $BD$

Оскільки чотирикутник $ABCD$ опуклий, вершини $B$ і $D$ лежать по різні боки від прямої $AC$. Тому кут $\angle BCD$ дорівнює сумі кутів:
$\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$

Застосуємо теорему косинусів для сторони $BD$ у $△BCD$:
$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos \angle BCD$
$B{D}^2=1^2+3^2-2\cdot 1\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }$
$B{D}^2=1+9-2\cdot 1\cdot 3\cdot \frac{1}{2}$
$B{D}^2=10-3=7$
$BD=\sqrt{7}$

Відповідь:
$\sqrt{7}$