Завдання № 17.40. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Побудуйте трапецію за двома її основами $a$ і $b$ та діагоналями $d_{1}$ і $d_{2}$ .

Покроковий розв’язок:

Класичний метод побудови трапеції за двома основами й двома діагоналями ґрунтується на паралельному перенесенні однієї з діагоналей на довжину меншої основи.

1. Аналіз

Нехай шукана трапеція $A B C D$ побудована ( $B C ∥ A D$ , $B C = a$ , $A D = b$ , $A C = d_{1}$ , $B D = d_{2}$ , причому $a < b$ ).

Через вершину $C$ проведемо пряму, паралельну діагоналі $B D$ , до перетину з продовженням основи $A D$ у точці $K$ .

Оскільки $B C ∥ D K$ (як основи трапеції) та $B D ∥ C K$ (за побудовою), чотирикутник $B C K D$ є паралелограмом за означенням. Звідси випливають властивості протилежних сторін паралелограма:

$D K = B C = a$ ;
$C K = B D = d_{2}$ .

Розглянемо трикутник $A C K$ :

сторона $A C = d_{1}$ ;
сторона $C K = d_{2}$ ;
сторона $A K = A D + D K = b + a$ .

Отже, у $△ A C K$ відомі всі три сторони: $d_{1}$ , $d_{2}$ та $(a + b)$ . Такий трикутник можна побудувати за трьома сторонами.

2. План побудови

1) На довільній прямій відкладаємо відрізок $A K = a + b$ .

2) На відрізку $A K$ від точки $A$ відкладаємо відрізок $A D = b$ (тоді відрізок $D K = a$ ).

3) Будуємо допоміжний $△ A C K$ за трьома відомими сторонами:

проводимо коло (або дугу) із центром у точці $A$ радіусом $d_{1}$ ;
проводимо коло (або дугу) із центром у точці $K$ радіусом $d_{2}$ ;
точка перетину дуг утворює вершину $C$ .

4) Через вершину $C$ проводимо пряму, паралельну прямій $A K$ , у напрямку точки $A$ .

5) На побудованій прямій від точки $C$ відкладаємо відрізок $C B = a$ .

6) Сполучаємо послідовно вершини $A$ і $B$ , а також $C$ і $D$ .
Трапеція $A B C D$ — шукана.

3. Доведення

За побудовою $B C ∥ A D$ (оскільки точка $B$ лежить на прямій, паралельній основі $A K$ ), тому чотирикутник $A B C D$ є трапецією.
Основи трапеції $B C = a$ та $A D = b$ за побудовою.
Діагональ $A C = d_{1}$ за побудовою.
Оскільки відрізки $B C$ та $D K$ рівні ( $B C = D K = a$ ) і паралельні ( $B C ∥ D K$ ), чотирикутник $B C K D$ є паралелограмом за ознакою. Отже, протилежні сторони $B D = C K = d_{2}$ , що забезпечує виконання умови для другої діагоналі.

4. Дослідження

Задача має єдиний розв’язок (з точністю до півплощини розміщення вершини $C$ відносно прямої $A K$ ) за умови, що з відрізків $d_{1}$ , $d_{2}$ та $(a + b)$ можна утворити трикутник. За нерівністю трикутника це можливо тоді й тільки тоді, коли:
$∣ d_{1} - d_{2} ∣ < a + b < d_{1} + d_{2}$

Якщо зазначена нерівність не виконується, побудувати таку трапецію неможливо (задача не має розв’язку).

Відповідь: Побудова зводиться до побудови допоміжного трикутника зі сторонами $d_{1}$ , $d_{2}$ та $(a + b)$ з наступним відновленням вершин трапеції за допомогою паралельного перенесення. Задача має розв’язок за умови $∣ d_{1} - d_{2} ∣ < a + b < d_{1} + d_{2}$ .

Завдання № 17.40. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку