Завдання № 17.39. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $3 см$ і $8 см$ , а кут між ними — $6 0^{\circ}$ . Знайдіть найменшу висоту трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третьої сторони трикутника
Нехай у трикутнику $△ A B C$ відомо:

$B C = 3 см$ ;
$A C = 8 см$ ;
$∠ C = 6 0^{\circ}$ .

За теоремою косинусів знайдемо довжину третьої сторони $A B$ :

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos ∠ C

Підставимо значення:

A B^{2} A B^{2} A B^{2} A B = 8^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ} = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49 = 49 = 7 см

2. Визначення сторони, до якої проведена найменша висота
Площа трикутника за будь-якою зі сторін та відповідною висотою обчислюється як:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

Оскільки площа є незмінною величиною, довжина висоти обернено пропорційна довжині сторони, до якої вона проведена. Отже, найменша висота трикутника завжди проведена до його найбільшої сторони.

Порівняємо довжини всіх трьох сторін:

A C = 8 см, A B = 7 см, B C = 3 см

Найбільшою стороною є сторона $A C = 8 см$ . Відповідно, шуканою найменшою висотою є висота $h = B H$ , проведена до сторони $A C$ .

3. Обчислення найменшої висоти
Знайдемо висоту двома способами:

Спосіб 1 (через прямокутний трикутник):
Розглянемо прямокутний трикутник $△ B H C$ ( $∠ B H C = 9 0^{\circ}$ ):

h = B C \cdot sin ∠ C = 3 \cdot sin 6 0^{\circ} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2} см

Спосіб 2 (через площу трикутника):
Знайдемо площу трикутника за двома сторонами та кутом між ними:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C \cdot sin ∠ C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot sin 6 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63 см^{2}

Тоді висота, проведена до сторони $A C$ :

h = \frac{2 S}{A C} = \frac{2 \cdot 6 3}{8} = \frac{12 3}{8} = \frac{3 3}{2} см

Відповідь:
$\frac{3 3}{2} см$

Завдання № 17.39. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку