Завдання № 17.38. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Скільки вершин має правильний многокутник, якщо різниця його внутрішнього і зовнішнього кутів дорівнює $100^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:

Нехай шуканий правильний многокутник має $n$ вершин (де $n\ge 3$, $n\in \mathbb{N}$). Тоді кількість його сторін і кутів також дорівнює $n$.

1. Формули кутів правильного многокутника

• Внутрішній кут правильного $n$-кутника обчислюється за формулою:
  $\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$

• Зовнішній кут правильного $n$-кутника, узятий при тій самій вершині, обчислюється за формулою:
  $\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$

2. Складання та розв’язування рівняння

За умовою задачі різниця внутрішнього та зовнішнього кутів дорівнює $100^{\circ }$:
$\alpha -\beta =100^{\circ }$

Підставимо формули для кутів у рівняння:
$\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}-\frac{360^{\circ }}{n}=100^{\circ }$

Помножимо обидві частини рівняння на $n$ (оскільки $n>0$):
$180^{\circ }\cdot (n-2)-360^{\circ }=100^{\circ }\cdot n$

Розкриємо дужки:
$180^{\circ }\cdot n-360^{\circ }-360^{\circ }=100^{\circ }\cdot n$

Зведемо подібні доданки:
$180^{\circ }\cdot n-720^{\circ }=100^{\circ }\cdot n$

Перенесемо доданки зі змінною $n$ в ліву частину, а числові значення — в праву:
$180^{\circ }\cdot n-100^{\circ }\cdot n=720^{\circ }$

$80^{\circ }\cdot n=720^{\circ }$

Знайдемо невідомий множник $n$:
$n=\frac{720^{\circ }}{80^{\circ }}$

$n=9$

Отже, даний правильний многокутник має $9$ вершин (є правильним дев’ятикутником).

Відповідь:
$9$ вершин.