Завдання № 17.37. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Розв’яжіть прямокутний трикутник $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$). Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих:

1) $AB=5\text{ см}$, $\angle A=72^{\circ }$;

2) $BC=4\text{ см}$, $\angle B=15^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Розв’язування трикутника за гіпотенузою та гострим кутом ($AB=5\text{ см}$, $\angle A=72^{\circ }$)

У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$):

1) Знайдемо невідомий гострий кут $\angle B$. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-72^{\circ }=18^{\circ }$

2) Знайдемо прилеглий до кута $A$ катет $AC$. За означенням косинуса гострого кута:
$\cos A=\frac{AC}{AB}⟹AC=AB\cdot \cos A$
Підставимо значення ($\cos 72^{\circ }\approx 0,3090$):
$AC=5\cdot \cos 72^{\circ }\approx 5\cdot 0,3090=1,545\approx 1,55\text{ см}$

3) Знайдемо протилежний до кута $A$ катет $BC$. За означенням синуса гострого кута:
$\sin A=\frac{BC}{AB}⟹BC=AB\cdot \sin A$
Підставимо значення ($\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$):
$BC=5\cdot \sin 72^{\circ }\approx 5\cdot 0,9511=4,7555\approx 4,76\text{ см}$

2. Розв’язування трикутника за катетом і прилеглим гострим кутом ($BC=4\text{ см}$, $\angle B=15^{\circ }$)

У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$):

1) Знайдемо невідомий гострий кут $\angle A$:
$\angle A=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$

2) Знайдемо гіпотенузу $AB$. За означенням косинуса гострого кута:
$\cos B=\frac{BC}{AB}⟹AB=\frac{BC}{\cos B}$
Оскільки $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$:
$AB\approx \frac{4}{0,9659}\approx 4,1412\approx 4,14\text{ см}$

3) Знайдемо протилежний до кута $B$ катет $AC$. За означенням тангенса гострого кута:
$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{BC}⟹AC=BC\cdot \mathrm{tg}B$
Підставимо значення ($\mathrm{tg}15^{\circ }\approx 0,2679$):
$AC\approx 4\cdot 0,2679=1,0716\approx 1,07\text{ см}$

Відповідь:

1) $\angle B=18^{\circ }$, $AC\approx 1,55\text{ см}$, $BC\approx 4,76\text{ см}$;

2) $\angle A=75^{\circ }$, $AB\approx 4,14\text{ см}$, $AC\approx 1,07\text{ см}$.