Завдання № 17.36. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть площі зафарбованих фігур на малюнках 17.8–17.10, якщо сторона квадрата дорівнює $a$.

Покроковий розв’язок:

1. Малюнок 17.8

Площа квадрата зі стороною $a$ дорівнює:
$S_{\text{кв}}=a^2$

Білі (незафарбовані) частини у кутах квадрата є чотирма четвертинами круга однакового радіуса. Оскільки дві такі четвертини сходяться на кожній зі сторін квадрата завдовжки $a$, їхній радіус дорівнює половині сторони квадрата:
$R=\frac{a}{2}$

Сума площ чотирьох четвертин круга радіуса $R$ дорівнює площі одного повного круга такого ж радіуса:
$S_{\text{круг}}=4\cdot \left(\frac{1}{4}\pi R^2\right)=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{\pi a^2}{4}$

Площа зафарбованої фігури дорівнює різниці площі квадрата та площі утвореного круга:
$S_1=S_{\text{кв}}-S_{\text{круг}}=a^2-\frac{\pi a^2}{4}=\frac{4a^2-\pi a^2}{4}=\frac{a^2(4-\pi )}{4}$

2. Малюнок 17.9

Незафарбована центральна фігура утворена перетином двох кругових секторів (чвертей круга) радіуса $R=a$ із центрами у протилежних вершинах квадрата.

Зафарбована частина складається з двох однакових кутових фігур. Площа однієї такої фігури дорівнює різниці площі квадрата зі стороною $a$ та сектора, що є чвертю круга радіуса $a$:
$S_{\text{кут}}=S_{\text{кв}}-S_{\text{сект}}=a^2-\frac{1}{4}\pi a^2=\frac{a^2(4-\pi )}{4}$

Оскільки зафарбована область складається з двох таких рівних фігур, її площа становить:
$S_2=2\cdot S_{\text{кут}}=2\cdot \frac{a^2(4-\pi )}{4}=\frac{a^2(4-\pi )}{2}$

3. Малюнок 17.10

Зафарбована фігура є чотирипелюстковою квіткою.

Розіб’ємо квадрат зі стороною $a$ двома перпендикулярними відрізками, які проходять через його центр $M$ паралельно сторонам, на 4 рівні малі квадрати зі стороною:
$b=\frac{a}{2}$

Площа одного малого квадрата дорівнює:
$S_{\text{мал. кв}}=b^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$

У кожному з чотирьох малих квадратів розташована рівно одна пелюстка, утворена перетином двох чвертей круга радіуса $R=b=\frac{a}{2}$ із центрами у протилежних вершинах цього малого квадрата.

Площа однієї такої пелюстки дорівнює подвоєній площі чверті круга без площі малого квадрата:
$S_{\text{пелюстки}}=2\cdot \left(\frac{1}{4}\pi b^2\right)-b^2=\frac{\pi b^2}{2}-b^2=\frac{b^2(\pi -2)}{2}$

Підставимо значення $b^2=\frac{a^2}{4}$:
$S_{\text{пелюстки}}=\frac{\frac{a^2}{4}(\pi -2)}{2}=\frac{a^2(\pi -2)}{8}$

Оскільки квітка складається з 4 однакових пелюсток, загальна площа зафарбованої фігури дорівнює:
$S_3=4\cdot S_{\text{пелюстки}}=4\cdot \frac{a^2(\pi -2)}{8}=\frac{a^2(\pi -2)}{2}$

Відповідь:
до мал. 17.8: $\frac{a^2(4-\pi )}{4}$;
до мал. 17.9: $\frac{a^2(4-\pi )}{2}$;
до мал. 17.10: $\frac{a^2(\pi -2)}{2}$.