Завдання № 17.35. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У рівнобічну трапецію вписано круг, площа якого дорівнює $48\pi {\text{ см}}^2$. Знайдіть площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює $60^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо радіус вписаного круга та висоту трапеції

Площа круга обчислюється за формулою:
$S_{\text{кр}}=\pi \cdot R^2$

За умовою $S_{\text{кр}}=48\pi {\text{ см}}^2$, тому:

Висота трапеції $h=BK$, проведена перпендикулярно до основ, дорівнює діаметру вписаного кола:
$h=2\cdot R=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ см}$

2. Знайдемо бічні сторони трапеції

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABK$ ($\angle BKA=90^{\circ }$, $\angle BAK=60^{\circ }$ за умовою).

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\sin \angle BAK=\frac{BK}{AB}$

Звідси знайдемо гіпотенузу $AB$:
$AB=\frac{BK}{\sin 60^{\circ }}=\frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}}=16\text{ см}$

Оскільки трапеція $ABCD$ рівнобічна, то її бічні сторони рівні:
$CD=AB=16\text{ см}$

3. Знайдемо суму основ трапеції

За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола, суми його протилежних сторін є рівними:
$AD+BC=AB+CD$

Підставимо знайдені довжини бічних сторін:
$AD+BC=16+16=32\text{ см}$

4. Обчислимо площу трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BK$

Підставимо відомі значення:
$S=\frac{32}{2}\cdot 8\sqrt{3}=16\cdot 8\sqrt{3}=128\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Відповідь: $128\sqrt{3}{\text{ см}}^2$.