Завдання № 17.34. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію, основи якої дорівнюють $5 см$ і $3 см$ .

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобічну трапецію $A B C D$ , у якій $B C ∥ A D$ , $A B = C D$ , $B C = 3 см$ та $A D = 5 см$ .

1. Знаходження бічних сторін трапеції

За властивістю описаного чотирикутника, якщо в трапецію вписано коло, то суми її протилежних сторін є рівними:
$A B + C D = B C + A D$

Підставимо відомі довжини основ:
$A B + C D = 3 + 5 = 8 см$

Оскільки трапеція рівнобічна ( $A B = C D$ ), маємо:
$A B = C D = \frac{8}{2} = 4 см$

2. Знаходження відрізка проекції бічної сторони

Опустимо висоти $B K ⊥ A D$ та $C M ⊥ A D$ .

Оскільки чотирикутник $B C M K$ є прямокутником ( $B C ∥ K M$ , $B K ⊥ A D$ , $C M ⊥ A D$ ), то:
$K M = B C = 3 см$

Прямокутні трикутники $△ A B K$ і $△ D C M$ рівні за гіпотенузою та гострим кутом ( $A B = C D$ , $∠ A = ∠ D$ як кути при основі рівнобічної трапеції). Отже, $A K = M D$ .
Обчислимо довжину відрізка $A K$ :
$A K = \frac{A D - K M}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 см$

3. Обчислення висоти трапеції

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B K$ ( $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ).
За теоремою Піфагора:
$B K = A B^{2} - A K^{2} = 4^{2} - 1^{2} = 16 - 1 = 15 см$

Висота трапеції дорівнює діаметру $d$ вписаного круга, отже:
$d = B K = 15 см$
$r = \frac{d}{2} = \frac{15}{2} см$

4. Обчислення площі вписаного круга

Площу круга знайдемо за формулою:
$S = π r^{2} = π \cdot (\frac{15}{2})^{2} = π \cdot \frac{15}{4} = 3, 75 π см^{2}$

Відповідь: $3, 75 π см^{2}$ .

Завдання № 17.34. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку