Завдання № 17.33. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці хорди завдовжки $12\text{ см}$ ділять коло у відношенні $1:5$. Знайдіть площі двох утворених сегментів.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення градусних мір дуг кола та центральних кутів

Повне коло має градусну міру $360^{\circ }$. Нехай кінці хорди $AB$ ділять коло на дві дуги у відношенні $1:5$. Загальна кількість частин:
$1+5=6$

Тоді градусна міра однієї частини (меншої дуги $⌣AB$):
${\alpha }_1=\frac{360^{\circ }}{6}\cdot 1=60^{\circ }$

Градусна міра більшої дуги:
${\alpha }_2=\frac{360^{\circ }}{6}\cdot 5=300^{\circ }$

Центральний кут $\angle AOB$, що спирається на меншу дугу, дорівнює її градусній мірі:
$\angle AOB=60^{\circ }$

2. Знаходження радіуса кола

Розглянемо $△AOB$, у якому $OA=OB=R$ (як радіуси кола). Отже, $△AOB$ — рівнобедрений з кутом при вершині $\angle AOB=60^{\circ }$.

Кути при основі рівні:
$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$

Оскільки всі кути трикутника дорівнюють $60^{\circ }$, $△AOB$ є рівностороннім. Звідси:
$R=OA=OB=AB=12\text{ см}$

3. Обчислення площі меншого сегмента $S_1$

Площа меншого сегмента дорівнює різниці площі сектора $AOB$ та площі рівностороннього трикутника $AOB$:
$S_1=S_{\text{сект. }60^{\circ }}-S_{△AOB}$

Площа кругового сектора з кутом $60^{\circ }$:
$S_{\text{сект. }60^{\circ }}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot 60^{\circ }=\frac{\pi \cdot 12^2}{6}=\frac{144\pi }{6}=24\pi {\text{ см}}^2$

Площа трикутника $AOB$:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Отже, площа меншого сегмента:
$S_1=24\pi -36\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

4. Обчислення площі більшого сегмента $S_2$

Площа всього круга:
$S_{\text{кр}}=\pi R^2=\pi \cdot 12^2=144\pi {\text{ см}}^2$

Більший сегмент доповнює менший до повного круга, тому його площа дорівнює:
$S_2=S_{\text{кр}}-S_1=144\pi -(24\pi -36\sqrt{3})=120\pi +36\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Відповідь: $(24\pi -36\sqrt{3}){\text{ см}}^2$ та $(120\pi +36\sqrt{3}){\text{ см}}^2$.