Завдання № 17.32. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці хорди завдовжки $6\sqrt{3}\text{ см}$ ділять коло у відношенні $1:2$. Знайдіть площі двох утворених сегментів.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення градусних мір дуг кола та відповідних центральних кутів
Повна градусна міра кола дорівнює $360^{\circ }$. За умовою кінці хорди $AB$ ділять коло на дві дуги у відношенні $1:2$. Нехай одна частина становить $x$. Тоді:
$x+2x=360^{\circ }$
$3x=360^{\circ }⟹x=120^{\circ }$

Отже:

• градусна міра меншої дуги дорівнює $120^{\circ }$, а відповідний центральний кут $\angle AOB=120^{\circ }$;
• градусна міра більшої дуги дорівнює $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }$.

2. Знаходження радіуса кола
Розглянемо рівнобедрений трикутник $△AOB$, у якому $OA=OB=R$ — радіуси кола, а сторона $AB=6\sqrt{3}\text{ см}$.

За теоремою косинусів для сторони $AB$:
$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$

Підставимо відомі значення:
$(6\sqrt{3}{)}^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 120^{\circ }$

Оскільки $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, маємо:
$108=2R^2-2R^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$108=2R^2+R^2$
$3R^2=108$
$R^2=36⟹R=6\text{ см}$

3. Обчислення площі меншого сегмента $S_1$
Площа меншого сегмента, що спирається на дугу $120^{\circ }$, дорівнює різниці площ відповідного сектора та трикутника $△AOB$:
$S_1=S_{\text{сект}}-S_{△AOB}$

• Площа сектора з кутом $120^{\circ }$:
  $S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot 120^{\circ }=\frac{\pi \cdot 6^2}{3}=\frac{36\pi }{3}=12\pi {\text{ см}}^2$

• Площа трикутника $△AOB$:
  $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Звідси площа меншого сегмента:
$S_1=12\pi -9\sqrt{3}{\text{ (см}}^2\text{)}$

4. Обчислення площі більшого сегмента $S_2$
Площа всього круга обчислюється за формулою:
$S_{\text{круга}}=\pi R^2=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{ см}}^2$

Площа більшого сегмента дорівнює різниці площі повного круга та меншого сегмента:
$S_2=S_{\text{круга}}-S_1=36\pi -(12\pi -9\sqrt{3})=24\pi +9\sqrt{3}{\text{ (см}}^2\text{)}$

Відповідь:
$(12\pi -9\sqrt{3}){\text{ см}}^2$ та $(24\pi +9\sqrt{3}){\text{ см}}^2$.