Завдання № 17.31. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює $6\text{ см}$, а центральний кут, що відповідає сегменту, дорівнює:

1) $45^{\circ }$;

2) $90^{\circ }$;

3) $210^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Площа кругового сектора радіуса $R$ із центральним кутом $\alpha$ обчислюється за формулою:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot \alpha$

Формула для обчислення площі кругового сегмента залежить від величини центрального кута $\alpha$:

• Якщо $\alpha <180^{\circ }$, круговий сегмент менший від півкруга. Його площа дорівнює різниці площ сектора та рівнобедреного трикутника з бічними сторонами $R$ і кутом $\alpha$ між ними:
  $S_{\text{сег}}=S_{\text{сект}}-S_{△}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot \alpha -\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \sin \alpha$
• Якщо $\alpha >180^{\circ }$, круговий сегмент більший за півкруг. Його площа дорівнює сумі площ сектора з кутом $\alpha$ та відповідного трикутника з кутом $360^{\circ }-\alpha$:
  $S_{\text{сег}}=S_{\text{сект}}+S_{△}=\frac{\pi R^2}{360^{\circ }}\cdot \alpha +\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \sin (360^{\circ }-\alpha )$

За умовою задачі радіус круга $R=6\text{ см}$.

1. Центральний кут $\alpha =45^{\circ }$

Оскільки $\alpha =45^{\circ }<180^{\circ }$, площа сегмента дорівнює різниці площ сектора і трикутника:

2. Центральний кут $\alpha =90^{\circ }$

Оскільки $\alpha =90^{\circ }<180^{\circ }$, маємо:

3. Центральний кут $\alpha =210^{\circ }$

Оскільки $\alpha =210^{\circ }>180^{\circ }$, площа сегмента складається із площі кругового сектора та площі рівнобедреного трикутника з кутом при вершині $360^{\circ }-210^{\circ }=150^{\circ }$:

Відповідь:

1) $(4,5\pi -9\sqrt{2}){\text{ см}}^2$;

2) $(9\pi -18){\text{ см}}^2$;

3) $(21\pi +9){\text{ см}}^2$.