Завдання № 17.30. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює $12\text{ см}$, а відповідний центральний кут дорівнює:

1) $30^{\circ }$;

2) $120^{\circ }$;

3) $225^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Площа кругового сектора радіуса $R$ із центральним кутом $\alpha$ обчислюється за формулою:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^2\cdot \alpha }{360^{\circ }}$

Площа трикутника $AOB$, утвореного двома радіусами та хордою, знаходиться за формулою:

• Якщо $\alpha <180^{\circ }$: $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \sin \alpha$
• Якщо $\alpha >180^{\circ }$: площа сегмента, більшого за півкруг, дорівнює сумі площі сектора та площі трикутника $AOB$, тобто $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \sin (360^{\circ }-\alpha )$

За умовою задачі радіус круга $R=12\text{ см}$, отже $R^2=12^2=144{\text{ см}}^2$.

1. Центральний кут $\alpha =30^{\circ }$

Оскільки $\alpha <180^{\circ }$, сегмент менший за півкруг. Його площу знаходять як різницю площ сектора та трикутника:
$S=S_{\text{сект}}-S_{△AOB}$

Обчислимо площу сектора:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi \cdot 12^2\cdot 30^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{144\pi }{12}=12\pi {\text{ см}}^2$

Обчислимо площу трикутника $AOB$:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \sin 30^{\circ }=72\cdot \frac{1}{2}=36{\text{ см}}^2$

Знайдемо площу сегмента:
$S=12\pi -36{\text{ см}}^2$

2. Центральний кут $\alpha =120^{\circ }$

Оскільки $\alpha <180^{\circ }$, площа сегмента дорівнює різниці площ сектора та трикутника:
$S=S_{\text{сект}}-S_{△AOB}$

Обчислимо площу сектора:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi \cdot 12^2\cdot 120^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{144\pi }{3}=48\pi {\text{ см}}^2$

Обчислимо площу трикутника $AOB$:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \sin 120^{\circ }=72\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Знайдемо площу сегмента:
$S=48\pi -36\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

3. Центральний кут $\alpha =225^{\circ }$

Оскільки $\alpha >180^{\circ }$, сегмент більший за півкруг. Його площа дорівнює сумі площ відповідного сектора та трикутника $AOB$:
$S=S_{\text{сект}}+S_{△AOB}$

Обчислимо площу сектора:
$S_{\text{сект}}=\frac{\pi \cdot 12^2\cdot 225^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{144\pi \cdot 5}{8}=18\pi \cdot 5=90\pi {\text{ см}}^2$

Для знаходження площі трикутника $AOB$ скористаємося кутом $\angle AOB=360^{\circ }-225^{\circ }=135^{\circ }$:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot \sin 135^{\circ }=72\cdot \sin (180^{\circ }-45^{\circ })=72\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=36\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

Знайдемо площу сегмента:
$S=90\pi +36\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

Відповідь:

1) $12\pi -36{\text{ см}}^2$;

2) $48\pi -36\sqrt{3}{\text{ см}}^2$;

3) $90\pi +36\sqrt{2}{\text{ см}}^2$.