Завдання № 17.27. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Круг, радіус якого дорівнює $2\text{ м}$, поділено на два сектори, центральний кут одного з яких становить $120^{\circ }$. Сектори пофарбовано у два різних кольори. Скільки витратили фарби кожного кольору, якщо на один квадратний метр площі потрібно $0,2\text{ кг}$ фарби? Відповідь округліть до десятих кілограма.

2) Фарба продається в банках по $0,3\text{ кг}$ за ціною $120\text{ грн}$ за банку. Скільки коштів знадобиться, щоб пофарбувати весь круг?

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення площ секторів круга

Площа круга радіуса $R=2\text{ м}$ обчислюється за формулою:
$S=\pi R^2=\pi \cdot 2^2=4\pi {\text{ м}}^2\approx 4\cdot 3,1416\approx 12,566{\text{ м}}^2$

Площа кругового сектора з градусною мірою центрального кута $\alpha$ визначається формулою:
$S_{\text{сект}}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot \pi R^2$

• Для першого сектора з центральним кутом ${\alpha }_1=120^{\circ }$:
  $S_1=\frac{120^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 4\pi =\frac{1}{3}\cdot 4\pi =\frac{4\pi }{3}{\text{ м}}^2\approx 4,189{\text{ м}}^2$

• Центральний кут другого сектора дорівнює:
  ${\alpha }_2=360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }$
  Його площа:
  $S_2=\frac{240^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 4\pi =\frac{2}{3}\cdot 4\pi =\frac{8\pi }{3}{\text{ м}}^2\approx 8,378{\text{ м}}^2$

2. Обчислення витрат фарби кожного кольору

Норма витрати фарби становить $0,2\text{ кг}$ на $1{\text{ м}}^2$.

• Маса фарби для першого сектора:
  $m_1=S_1\cdot 0,2\approx 4,189\cdot 0,2\approx 0,838\text{ кг}\approx 0,8\text{ кг}$

• Маса фарби для другого сектора:
  $m_2=S_2\cdot 0,2\approx 8,378\cdot 0,2\approx 1,676\text{ кг}\approx 1,7\text{ кг}$

3. Розрахунок кількості банок і вартості фарби

Оскільки сектори фарбують у два різні кольори, фарбу кожного кольору купують окремо в банках по $0,3\text{ кг}$:

• Кількість банок першого кольору:
  $\frac{0,838}{0,3}\approx 2,79$
  Оскільки фарбу можна придбати лише в цілих банках, округлюємо з надлишком: необхідно $3\text{ банки}$.

• Кількість банок другого кольору:
  $\frac{1,676}{0,3}\approx 5,59$
  Округлюємо з надлишком: необхідно $6\text{ банок}$.

• Загальна кількість банок:
  $3+6=9\text{ банок}$

• Загальна вартість покупки при ціні $120\text{ грн}$ за банку:
  $9\cdot 120=1080\text{ грн}$

Відповідь:

1) $0,8\text{ кг}$ та $1,7\text{ кг}$;

2) $1080\text{ грн}$.