Завдання № 17.26. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу тієї частини круга, що лежить поза вписаним у нього прямокутним трикутником з катетами $12\text{ см}$ і $16\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо гіпотенузу прямокутного трикутника
Нехай дано прямокутний трикутник $ABC$ із прямим кутом $C$ ($\angle C=90^{\circ }$) і катетами $AC=16\text{ см}$ та $BC=12\text{ см}$.

За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу $AB$:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\text{ см}$

2. Знайдемо радіус описаного круга
Оскільки вписаний у коло прямий кут спирається на діаметр, гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаного кола, а центр кола $O$ — серединою гіпотенузи.
Радіус круга $R$:
$R=\frac{AB}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ см}$

3. Обчислимо площу круга
Площа круга радіуса $R$ обчислюється за формулою:
$S_{\text{кр}}=\pi R^2=\pi \cdot 10^2=100\pi {\text{ см}}^2$

4. Обчислимо площу прямокутного трикутника
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S_{△}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 12=96{\text{ см}}^2$

5. Знайдемо площу частини круга, що лежить поза трикутником
Шукана площа $S$ дорівнює різниці площі круга та площі вписаного в нього прямокутного трикутника:
$S=S_{\text{кр}}-S_{△}=100\pi -96{\text{ см}}^2=4(25\pi -24){\text{ см}}^2$

Відповідь:
$(100\pi -96){\text{ см}}^2$ або $4(25\pi -24){\text{ см}}^2$.