Завдання № 17.23. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть площу круга, описаного навколо квадрата, площа якого дорівнює $12{\text{ см}}^2$.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між стороною квадрата та його площею

Нехай сторона даного квадрата дорівнює $a$. Площа квадрата обчислюється за формулою:
$S_{\text{кв}}=a^2$

За умовою задачі $S_{\text{кв}}=12{\text{ см}}^2$, звідки:
$a=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\text{ см}$

2. Знаходження радіуса описаного кола

Центр кола, описаного навколо квадрата, збігається з точкою перетину його діагоналей, а радіус $R$ дорівнює половині довжини діагоналі.

За теоремою Піфагора діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює $d=a\sqrt{2}$. Отже, радіус описаного кола:
$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Підставимо знайдене значення сторони $a$:
$R=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{12}{2}}=\sqrt{6}\text{ см}$

Примітка: Значення $R^2$ можна знайти й одразу через площу квадрата, враховуючи, що $R^2=\frac{d^2}{4}=\frac{2a^2}{4}=\frac{a^2}{2}=\frac{S_{\text{кв}}}{2}=\frac{12}{2}=6$.

3. Обчислення площі описаного круга

Площа круга обчислюється за формулою:
$S=\pi R^2$

Підставимо отримане значення радіуса:
$S=\pi \cdot (\sqrt{6}{)}^2=6\pi {\text{ см}}^2$

Відповідь:
$6\pi {\text{ см}}^2$