Завдання № 17.17. § 17. Площа круга та його частин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Чи може сегмент круга бути водночас сектором?

2) За якої умови сегмент круга можна розрізати на сектори?

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження можливості збігу сегмента та сектора
За означеннями:

• Круговий сектор — це частина круга, обмежена дугою кола та двома радіусами, проведеними до кінців цієї дуги.
• Круговий сегмент — це частина круга, обмежена дугою кола та хордою, що з’єднує кінці цієї дуги.

Щоб сегмент був водночас сектором, його прямолінійна межа (хорда) повинна збігатися з двома радіусами круга, які виходять з однієї точки (центра кола) у протилежних напрямках. Це можливо лише у випадку, коли хорда проходить через центр кола, тобто є його діаметром.
Діаметр ділить круг на два півкруги. Центральний кут кожного з них дорівнює $180^{\circ }$.

Отже, півкруг одночасно є:

• сегментом, обмеженим хордою-діаметром і півколом;
• сектором, обмеженим двома радіусами, що утворюють кут $180^{\circ }$, і півколом.

2. Умова розрізання сегмента на сектори
Будь-який сектор даного круга має вершину в центрі кола $O$, а його прямолінійні межі обов’язково лежать на радіусах.
Якщо фігуру можна розрізати на сектори цього круга, то:

• Центр круга $O$ повинен належати цій фігурі (або її межі);
• Усі зовнішні прямолінійні відрізки межі цієї фігури повинні бути радіусами кола.

У довільного сегмента круга прямолінійною межею є хорда. Щоб хорда складалася з радіусів кола, вона обов’язково повинна містити центр круга $O$. Єдина хорда, що проходить через центр кола, — це діаметр.
Якщо хорда не є діаметром:

• для сегмента, меншого за півкруг, центр кола взагалі лежить зовні фігури;
• для сегмента, більшого за півкруг, центр кола лежить усередині, проте його межа містить хорду, яка не лежить на радіусах, тому розрізати його виключно на кругові сектори неможливо.

Таким чином, сегмент круга можна розрізати на сектори тоді й лише тоді, коли він є півкругом (у цьому випадку радіуси, проведені з центра $O$ до точок дуги, розбивають півкруг на довільну кількість менших секторів).

Відповідь:

1) Так, якщо сегмент є півкругом;

2) Якщо сегмент є півкругом.