Завдання № 16. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
За яких значень $k$ пряма $y=kx-5$ і коло $x^2+y^2=9$:

1) мають одну спільну точку;

2) мають дві спільні точки;

3) не мають спільних точок?

Покроковий розв’язок:

Кількість спільних точок прямої та кола відповідає кількості розв’язків системи рівнянь:

1. Складання квадратного рівняння

Підставимо вираз для $y$ із першого рівняння у друге рівняння:
$x^2+(kx-5{)}^2=9$

Розкриємо дужки за формулою квадрата різниці:
$x^2+k^2{x}^2-10kx+25=9$

Зведемо подібні доданки та запишемо квадратне рівняння у стандартному вигляді:
$(1+k^2)x^2-10kx+16=0$

Оскільки для будь-якого дійсного значення $k$ старший коефіцієнт $a=1+k^2\ge 1>0$, це рівняння завжди є квадратним.

2. Дослідження дискримінанта

Кількість коренів квадратного рівняння залежить від знака його дискримінанта. Обчислимо дискримінант $D$ (або четвертину дискримінанта $D_1=\frac{D}{4}$):

3. Аналіз випадків

1) Пряма і коло мають одну спільну точку (пряма є дотичною до кола)
Це відповідає випадку, коли квадратне рівняння має рівно один розв’язок, тобто $D_1=0$:
$9k^2-16=0$
$k^2=\frac{16}{9}$
$k=\pm \frac{4}{3}$

2) Пряма і коло мають дві спільні точки (пряма є січною)
Це відповідає випадку, коли рівняння має два різні дійсні корені, тобто $D_1>0$:
$9k^2-16>0$
$(3k-4)(3k+4)>0$
Розв’язуючи нерівність методом інтервалів, отримуємо:
$k<-\frac{4}{3}\text{ або }k>\frac{4}{3}$

3) Пряма і коло не мають спільних точок
Це відповідає випадку, коли рівняння не має дійсних коренів, тобто $D_1<0$:
$9k^2-16<0$
$(3k-4)(3k+4)<0$
Звідси:
$-\frac{4}{3}<k<\frac{4}{3}$

Відповідь:

1) $k=\pm \frac{4}{3}$;

2) $k<-\frac{4}{3}$ або $k>\frac{4}{3}$;

3) $-\frac{4}{3}<k<\frac{4}{3}$.