Завдання № 16. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відрізки $AB$ і $A^{\prime }{B}^{\prime }$ симетричні відносно точки $O$. Доведіть, що прямі $AB$ і $A^{\prime }{B}^{\prime }$ паралельні.

Покроковий розв’язок:

1. Використання властивостей центральної симетрії
За означенням симетрії відносно точки (центральної симетрії), точка $O$ є серединою відрізків, що сполучають відповідні симетричні точки:

• Точка $A^{\prime }$ симетрична точці $A$ відносно точки $O$, тому точка $O$ лежить на прямій $A{A}^{\prime }$ і $AO=A^{\prime }O$.
• Точка $B^{\prime }$ симетрична точці $B$ відносно точки $O$, тому точка $O$ лежить на прямій $B{B}^{\prime }$ і $BO=B^{\prime }O$.

2. Доведення рівності трикутників
Розглянемо трикутники $△ABO$ та $△A^{\prime }{B}^{\prime }O$:

• $AO=A^{\prime }O$ (за означенням центральної симетрії);
• $BO=B^{\prime }O$ (за означенням центральної симетрії);
• $\angle AOB=\angle A^{\prime }O{B}^{\prime }$ (як вертикальні кути).

Отже, $△ABO=△A^{\prime }{B}^{\prime }O$ за двома сторонами та кутом між ними (за першою ознакою рівності трикутників).

3. Доведення паралельності прямих
З рівності трикутників $△ABO$ і $△A^{\prime }{B}^{\prime }O$ випливає рівність їхніх відповідних кутів:
$\angle OAB=\angle O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$

Кути $\angle OAB$ і $\angle O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ є внутрішніми різносторонніми кутами при прямих $AB$ і $A^{\prime }{B}^{\prime }$ та січній $A{A}^{\prime }$.

Оскільки внутрішні різносторонні кути рівні, то за ознакою паралельності прямих:
$AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$
Твердження повністю доведено.

Відповідь: доведено, що $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$.