Завдання № 16. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У правильний трикутник зі стороною $a$ вписано коло, у яке вписано правильний шестикутник. Знайдіть площу цього шестикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Радіус кола, вписаного в правильний трикутник

Нехай сторона правильного трикутника дорівнює $a_{3} = a$ . Радіус $r$ вписаного в правильний трикутник кола виражається через його сторону за формулою:
$r = \frac{a}{2 3}$

2. Сторона правильного шестикутника

За умовою, правильний шестикутник вписано у це ж коло. Отже, радіус вписаного в трикутник кола $r$ одночасно є радіусом описаного кола для правильного шестикутника $R_{6}$ :
$R_{6} = r = \frac{a}{2 3}$

Оскільки сторона правильного шестикутника $a_{6}$ дорівнює радіусу описаного навколо нього кола ( $a_{6} = R_{6}$ ), маємо:
$a_{6} = \frac{a}{2 3}$

3. Обчислення площі правильного шестикутника

Правильний шестикутник складається із шести рівних правильних трикутників зі стороною $a_{6}$ . Тому його площа дорівнює:
$S = 6 \cdot \frac{a _{6}^{2} 3}{4}$

Підставимо отримане значення сторони $a_{6}$ :
$a_{6}^{2} = (\frac{a}{2 3})^{2} = \frac{a ^{2}}{4 \cdot 3} = \frac{a ^{2}}{12}$

Обчислимо шукану площу:
$S = 6 \cdot \frac{a ^{2}}{12} \cdot \frac{3}{4} = \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{a ^{2} 3}{8}$

Відповідь: $\frac{a ^{2} 3}{8}$

Завдання № 16. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку