Завдання № 16. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони гострокутного трикутника $A B C$ дорівнюють $a$ , $b$ і $c$ (де $B C = a$ , $A C = b$ , $A B = c$ ). Знайдіть довжину проєкції сторони $b$ на сторону $a$ .

Покроковий розв’язок:

1. Визначення проєкції
У гострокутному трикутнику $A B C$ позначимо довжини сторін: $B C = a$ , $A C = b$ , $A B = c$ .
Проведемо висоту $A K$ з вершини $A$ до прямої, що містить сторону $B C$ ( $A K ⊥ B C$ ).
Оскільки трикутник $A B C$ за умовою гострокутний, основа висоти — точка $K$ — належить стороні $B C$ .
Відрізок $C K$ є ортогональною проєкцією похилої $A C$ (сторони $b$ ) на пряму $B C$ (сторону $a$ ).

2. Зв’язок проєкції з кутом трикутника
Розглянемо прямокутний трикутник $△ A K C$ ( $∠ A K C = 9 0^{\circ}$ ).
За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:

cos C = \frac{C K}{A C}

Звідси виразимо довжину шуканої проєкції $C K$ :

C K = A C \cdot cos C = b \cdot cos C

3. Знаходження косинуса кута за теоремою косинусів
За теоремою косинусів для трикутника $△ A B C$ сторона, що лежить навпроти кута $C$ , дорівнює:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C

Виразимо з цієї рівності $cos C$ :

2 \cdot a \cdot b \cdot cos C = a^{2} + b^{2} - c^{2} ⟹ cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 \cdot a \cdot b}

4. Обчислення довжини відрізка $C K$
Підставимо отриманий вираз для $cos C$ у формулу проєкції:

C K = b \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 \cdot a \cdot b} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 \cdot a}

Відповідь:
$\frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 \cdot a}$

Завдання № 16. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку