Завдання № 16. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Спростіть вираз:

1) ${\mathrm{tg}}^2\alpha (1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )$;

2) $1-{\cos }^2(90^{\circ }-\alpha )$.

Покроковий розв’язок:

1. Спрощення першого виразу

Застосуємо формулу скороченого множення (різницю квадратів) для добутку дужок $(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )$:
$(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )=1^2-{\sin }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

З основної тригонометричної тотожності ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ випливає, що:
$1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$

Використовуючи означення тангенса $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, запишемо ${\mathrm{tg}}^2\alpha$ у вигляді дробу та підставимо у початковий вираз:

2. Спрощення другого виразу

За формулою зведення для кутів, що доповнюють один одного до $90^{\circ }$, маємо:
$\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

Піднесемо обидві частини до квадрата:
${\cos }^2(90^{\circ }-\alpha )={\sin }^2\alpha$

Підставимо отриманий результат у вираз:
$1-{\cos }^2(90^{\circ }-\alpha )=1-{\sin }^2\alpha$

За основною тригонометричною тотожністю:
$1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$

Відповідь:

1) ${\sin }^2\alpha$;

2) ${\cos }^2\alpha$.