Завдання № 16. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У паралелограмі $ABCD$ довжини сторін дорівнюють $AB=4\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$. Бісектриса кута $B$ перетинає сторону $AD$ у точці $M$. Знайдіть довжини відрізків $AM$ і $MD$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду трикутника $ABM$

Оскільки $BM$ є бісектрисою кута $B$ паралелограма, вона ділить цей кут навпіл:
$\angle ABM=\angle CBM$

У паралелограмі протилежні сторони паралельні, тобто $BC\parallel AD$. Розглянемо січну $BM$:
Кути $\angle CBM$ та $\angle BMA$ є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих $BC$ і $AD$ та січній $BM$, тому вони рівні:
$\angle CBM=\angle BMA$

Порівнюючи отримані рівності кутів, маємо:
$\angle ABM=\angle BMA$

Якщо у трикутнику два кути рівні, то він є рівнобедреним. Отже, $△ABM$ — рівнобедрений з основою $BM$, звідки слідує рівність його бічних сторін:
$AM=AB$

За умовою задачі $AB=4\text{ см}$, отже:
$AM=4\text{ см}$

2. Знаходження довжини відрізка $MD$

За властивістю протилежних сторін паралелограма:
$AD=BC=7\text{ см}$

Точка $M$ належить стороні $AD$, тому довжина відрізка $AD$ дорівнює сумі його частин:
$AD=AM+MD$

Звідси знайдемо довжину $MD$:
$MD=AD-AM=7-4=3\text{ см}$

Відповідь:
$AM=4\text{ см}$, $MD=3\text{ см}$.