Завдання № 16.6. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У скільки разів зменшиться довжина кола, якщо його радіус зменшити у:

1) $3$ рази;

2) $10$ разів?

Покроковий розв’язок:
1. Теоретичне обґрунтування
Довжина кола $C$ радіуса $R$ обчислюється за формулою:
$C=2\pi R$

Оскільки число $2\pi$ є сталою величиною, довжина кола прямо пропорційна його радіусу.

Нехай радіус початкового кола дорівнює $R$, тоді його довжина дорівнює:
$C_1=2\pi R$

Якщо зменшити радіус кола у $k$ разів, новий радіус становитиме:
$R_2=\frac{R}{k}$

Знайдемо довжину утвореного кола $C_2$:
$C_2=2\pi R_2=2\pi \cdot \frac{R}{k}=\frac{2\pi R}{k}=\frac{C_1}{k}$

Знайдемо, у скільки разів зменшилася довжина кола, склавши відношення $C_1$ до $C_2$:
$\frac{C_1}{C_2}=\frac{C_1}{\frac{C_1}{k}}=k$

Таким чином, довжина кола зменшується у стільки ж разів, у скільки зменшується його радіус.

2. Розгляд пунктів задачі

1) Якщо радіус кола зменшити у $3$ рази ($k=3$), то довжина кола зменшиться у:
$\frac{C_1}{C_2}=3\text{ рази}$

2) Якщо радіус кола зменшити у $10$ разів ($k=10$), то довжина кола зменшиться у:
$\frac{C_1}{C_2}=10\text{ разів}$

Відповідь:

1) У $3$ рази;

2) у $10$ разів.