Завдання № 16.38. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
(Олімпіада Нью-Йорка, 1977 р.) Нехай $a$, $b$, $c$ — сторони трикутника, $P$ — його периметр. Доведіть, що:
$a^2+b^2+c^2\ge \frac{P^2}{3}$

Покроковий розв’язок:

1. Вираження периметра через сторони
Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P=a+b+c$

Підставимо цей вираз у нерівність, яку необхідно довести:
$a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{3}$

2. Перетворення різниці лівої та правої частин
Для доведення нерівності розглянемо різницю між її лівою та правою частинами і покажемо, що вона є невід’ємною:
$a^2+b^2+c^2-\frac{(a+b+c{)}^2}{3}$

Застосуємо формулу квадрата тричлена:
$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2\cdot a\cdot b+2\cdot b\cdot c+2\cdot a\cdot c$

Зведемо вираз до спільного знаменника:

3. Виділення повних квадратів
Розгрупуємо доданки в чисельнику, утворивши формули квадрата різниці:

4. Обґрунтування невід’ємності
Квадрат будь-якого дійсного числа є невід’ємним:
$(a-b{)}^2\ge 0,(b-c{)}^2\ge 0,(a-c{)}^2\ge 0$

Сума трьох невід’ємних чисел також є невід’ємною, тому:
$\frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(a-c{)}^2}{3}\ge 0$

Звідси випливає:
$a^2+b^2+c^2-\frac{P^2}{3}\ge 0⟹a^2+b^2+c^2\ge \frac{P^2}{3}$

Рівність досягається тоді й лише тоді, коли $a-b=0$, $b-c=0$ та $a-c=0$, тобто $a=b=c$ (трикутник є рівностороннім).

Нерівність доведено.

Відповідь:
Доведено. Рівність досягається у випадку рівностороннього трикутника ($a=b=c$).