Завдання № 16.36. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Кути правильного трикутника зрізали так, що отримали правильний шестикутник. Знайдіть сторону трикутника, якщо сторона шестикутника дорівнює $a\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз властивостей многокутників

Нехай задано правильний (рівносторонній) трикутник $△ABC$, у якого зрізали кути так, що утворився правильний шестикутник $MQEFNP$ зі стороною $a\text{ см}$.

1) Оскільки шестикутник правильний, усі його сторони рівні:
$MQ=QE=EF=FN=NP=PM=a\text{ см}$

2) Кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює:
$\alpha =\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$

3) Оскільки $△ABC$ — правильний, кожен з його кутів дорівнює:
$\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ }$

2. Дослідження відтятих трикутників

Розглянемо трикутник $△AMQ$, який утворився біля вершини $A$:

• Кут $\angle AQM$ є суміжним до кута $\angle MQE$ правильного шестикутника:
  $\angle AQM=180^{\circ }-\angle MQE=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$
• Кут $\angle AMQ$ є суміжним до кута $\angle PMQ$ правильного шестикутника:
  $\angle AMQ=180^{\circ }-\angle PMQ=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$

Оскільки всі три кути трикутника $△AMQ$ дорівнюють $60^{\circ }$ ($\angle A=\angle AQM=\angle AMQ=60^{\circ }$), то $△AMQ$ — рівносторонній.

Звідси випливає:
$AQ=AM=MQ=a\text{ см}$

Аналогічно, трикутники біля вершин $B$ та $C$ також є рівносторонніми:

• Для $△PBN$: $PB=BN=PN=a\text{ см}$
• Для $△CFE$: $CE=CF=EF=a\text{ см}$

3. Обчислення довжини сторони трикутника $△ABC$

Сторона $AC$ вихідного правильного трикутника складається з трьох послідовних відрізків:
$AC=AQ+QE+EC$

Підставимо відомі довжини:
$AC=a+a+a=3a\text{ см}$

Відповідь: $3a\text{ см}$.