Завдання № 16.33. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи подібні трикутники $ABC$ і $A_1{B}_1{C}_1$, якщо:

1) $AB:BC:CA=3:4:5$, $A_1{B}_1=6\text{ см}$, $B_1{C}_1=8\text{ см}$, $C_1{A}_1=10\text{ см}$;

2) $\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3$, $\angle A_1=20^{\circ }$, $\angle B_1=70^{\circ }$, $\angle C_1=90^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження першої пари трикутників
Згідно з умовою, сторони трикутника $ABC$ відносяться як $3:4:5$. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$, де $x>0$. Тоді:
$AB=3x,BC=4x,CA=5x$

Знайдемо відношення відповідних сторін трикутників $ABC$ та $A_1{B}_1{C}_1$:
$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}$
$\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{4x}{8}=\frac{x}{2}$
$\frac{CA}{C_1{A}_1}=\frac{5x}{10}=\frac{x}{2}$

Бачимо, що відношення відповідних сторін є рівними між собою:
$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{CA}{C_1{A}_1}=\frac{x}{2}$

Отже, за третьою ознакою подібності трикутників (за трьома пропорційними сторонами), $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$.

2. Дослідження другої пари трикутників
Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника становить $180^{\circ }$.

Нехай одна частина становить $y^{\circ }$. Тоді для кутів трикутника $ABC$ маємо:
$\angle A=y^{\circ },\angle B=2y^{\circ },\angle C=3y^{\circ }$

Складемо рівняння:
$y+2y+3y=180^{\circ }$
$6y=180^{\circ }$
$y=30^{\circ }$

Обчислимо градусні міри кутів трикутника $ABC$:
$\angle A=30^{\circ }$
$\angle B=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$
$\angle C=3\cdot 30^{\circ }=90^{\circ }$

Порівняємо кути обох трикутників:
У $△ABC$ кути дорівнюють $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$.
У $△A_1{B}_1{C}_1$ кути дорівнюють $20^{\circ }$, $70^{\circ }$, $90^{\circ }$.

Хоча в обох трикутниках є прямий кут ($\angle C=\angle C_1=90^{\circ }$), гострі кути не є рівними ($\angle A\ne \angle A_1$ і $\angle B\ne \angle B_1$). Оскільки рівність відповідних кутів порушується, трикутники не мають двох пар рівних кутів.

Отже, трикутники $ABC$ і $A_1{B}_1{C}_1$ не подібні.

Відповідь:

1) Так, подібні;

2) Ні, не подібні.