Завдання № 16.32. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Три кола з радіусами $2 см$ , $3 см$ і $27 см$ попарно дотикаються одне до одного зовнішнім дотиком. Знайдіть довжину кола, що проходить через центри цих кіл.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення сторін трикутника, утвореного центрами кіл

Позначимо центри трьох кіл як $O_{1}$ , $O_{2}$ та $O_{3}$ , а їхні радіуси — як $r_{1} = 2 см$ , $r_{2} = 3 см$ та $r_{3} = 27 см$ .

Оскільки кола попарно дотикаються одне до одного зовнішнім дотиком, відстань між їхніми центрами дорівнює сумі відповідних радіусів:

O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2} = 2 + 3 = 5 см O_{1} O_{3} = r_{1} + r_{3} = 2 + 27 = 29 см O_{2} O_{3} = r_{2} + r_{3} = 3 + 27 = 30 см

Таким чином, точки $O_{1}$ , $O_{2}$ та $O_{3}$ утворюють трикутник $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ зі сторонами $a = 5 см$ , $b = 29 см$ і $c = 30 см$ . Коло, яке проходить через центри цих кіл, є описаним навколо трикутника $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ .

2. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Знайдемо півпериметр трикутника $p$ :
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 29 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32 см$

За формулою Герона площа трикутника дорівнює:
$S = p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)$

Підставимо значення сторін і півпериметра:

S = 32 \cdot (32 - 5) \cdot (32 - 29) \cdot (32 - 30) = 32 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2 = (32 \cdot 2) \cdot (27 \cdot 3) = 64 \cdot 81 = 8 \cdot 9 = 72 см^{2}

3. Знаходження радіуса описаного кола

Радіус $R$ кола, описаного навколо трикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ та площею $S$ , обчислюється за формулою:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S}$

Підставимо відомі величини:
$R = \frac{5 \cdot 29 \cdot 30}{4 \cdot 72} = \frac{5 \cdot 29 \cdot 5}{4 \cdot 12} = \frac{725}{48} см$

4. Обчислення довжини кола

Довжину кола $C$ знайдемо за формулою:
$C = 2 π R$

$C = 2 π \cdot \frac{725}{48} = \frac{725}{24} π см$

Відповідь:
$\frac{725}{24} π см$

Завдання № 16.32. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку