Завдання № 16.31. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У колі проведено дві паралельні хорди, довжини яких дорівнюють $12\text{ см}$ і $16\text{ см}$. Відстань між хордами становить $14\text{ см}$. Знайдіть довжину кола.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз розташування хорд та властивостей кола

Нехай у колі з центром $O$ проведено дві паралельні хорди $AB=12\text{ см}$ і $CD=16\text{ см}$, де $AB\parallel CD$.

Проведемо спільний перпендикуляр до обох хорд, який перетинає $AB$ у точці $M$, а $CD$ — у точці $N$. Відрізок $MN$ є відстанню між цими хордами, отже, $MN=14\text{ см}$.

За теоремою про перпендикуляр, опущений із центра кола на хорду, діаметр (або його частина), перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду навпіл. Оскільки пряма $MN$ перпендикулярна до обох паралельних хорд, вона обов’язково містить центр кола $O$.

Звідси точки $M$ і $N$ є серединами хорд:
$MB=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}$
$ND=\frac{CD}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см}$

Центр кола $O$ лежить між хордами, оскільки відстані від центра до таких хорд завжди менші за радіус, а їхня сума дає відстань між ними. Нехай довжина відрізка $OM=x\text{ см}$, тоді довжина відрізка $ON=(14-x)\text{ см}$.

2. Знаходження радіуса кола

Сполучимо центр кола $O$ з кінцями хорд $B$ і $D$. Відрізки $OB$ та $OD$ є радіусами кола ($OB=OD=R$).

Розглянемо прямокутні трикутники:

1) Із прямокутного трикутника $△OMB$ ($\angle OMB=90^{\circ }$) за теоремою Піфагора:
$O{B}^2=O{M}^2+M{B}^2$
$R^2=x^2+6^2=x^2+36$

2) Із прямокутного трикутника $△OND$ ($\angle OND=90^{\circ }$) за теоремою Піфагора:
$O{D}^2=O{N}^2+N{D}^2$
$R^2=(14-x{)}^2+8^2=196-28x+x^2+64=x^2-28x+260$

Прирівняємо вирази для $R^2$:
$x^2+36=x^2-28x+260$

Віднімемо $x^2$ від обох частин рівняння:
$36=260-28x$
$28x=260-36$
$28x=224$
$x=\frac{224}{28}=8\text{ см}$

Отже, відстань від центра до хорди $AB$ дорівнює $OM=8\text{ см}$.

Обчислимо радіус кола:
$R^2=8^2+6^2=64+36=100$
$R=\sqrt{100}=10\text{ см}$

3. Обчислення довжини кола

Довжина кола $C$ обчислюється за формулою $C=2\pi R$:
$C=2\cdot \pi \cdot 10=20\pi \text{ см}$

Відповідь: $20\pi \text{ см}$.