Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Знайдіть довжину кола, описаного навколо трапеції, сторони якої дорівнюють , , і .
Покроковий розв’язок:
Нехай задано рівнобічну трапецію , у якій бічні сторони та менша основа рівні: , а більша основа .
1. Знаходження кутів трапеції
Опустимо висоти та на основу (, ).
Оскільки чотирикутник є прямокутником, то:
Оскільки трапеція рівнобічна, відрізки і рівні між собою:
Розглянемо прямокутний трикутник ():
За означенням косинуса гострого кута:
Звідси:
Оскільки кути при основі рівнобічної трапеції рівні, маємо:
2. Визначення центра та радіуса описаного кола
Нехай точка — середина більшої основи . Тоді:
Розглянемо трикутник :
У ньому , отже, — рівнобедрений з основою . Оскільки кут при основі трапеції , то кути при основі рівнобедреного трикутника також дорівнюють:
Отже, трикутник є рівностороннім, звідки:
Аналогічно розглянемо трикутник :
та , отже, також є рівностороннім:
Оскільки , точка рівновіддалена від усіх чотирьох вершин трапеції . Це означає, що точка є центром описаного навколо трапеції кола, а радіус цього кола дорівнює:
3. Обчислення довжини описаного кола
Довжину кола обчислюємо за формулою:
Підставимо значення радіуса:
Відповідь: