Завдання № 16.28. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

За даною хордою $a$ знайдіть довжину її дуги, якщо градусна міра дуги дорівнює:

1) $60^{\circ }$;

2) $90^{\circ }$;

3) $120^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Довжина дуги кола радіуса $R$, яка відповідає центральному куту $\alpha$, обчислюється за формулою:
$l=\frac{\pi R\alpha }{180^{\circ }}$

Нехай $AB=a$ — хорда кола з центром у точці $O$, а $R=OA=OB$ — радіус кола. Трикутник $AOB$ є рівнобедреним з основою $AB$ ($OA=OB=R$), а центральний кут $\angle AOB$ дорівнює градусній мірі відповідної дуги.

1. Градусна міра дуги дорівнює $60^{\circ }$

Центральний кут $\angle AOB=60^{\circ }$.

Оскільки трикутник $AOB$ рівнобедрений ($OA=OB=R$) та має кут при вершині $60^{\circ }$, то кути при основі також дорівнюють:
$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$

Отже, $△AOB$ — рівносторонній, звідки:
$R=AB=a$

Підставимо значення радіуса $R=a$ та кута $\alpha =60^{\circ }$ у формулу довжини дуги:
$l=\frac{\pi a\cdot 60^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{\pi a}{3}$

2. Градусна міра дуги дорівнює $90^{\circ }$

Центральний кут $\angle AOB=90^{\circ }$.

Трикутник $AOB$ є прямокутним і рівнобедреним з катетами $OA=OB=R$ та гіпотенузою $AB=a$.

За теоремою Піфагора:
$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$
$R^2+R^2=a^2$
$2R^2=a^2$
$R=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Обчислимо довжину дуги при $\alpha =90^{\circ }$:
$l=\frac{\pi R\cdot 90^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{\pi R}{2}=\frac{\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\pi a\sqrt{2}}{4}$

3. Градусна міра дуги дорівнює $120^{\circ }$

Центральний кут $\angle AOB=120^{\circ }$.

Кути при основі рівнобедреного трикутника $AOB$ ($OA=OB=R$) дорівнюють:
$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$

Знайдемо радіус $R$ за теоремою синусів у $△AOB$:
$\frac{a}{\sin \angle AOB}=\frac{R}{\sin \angle OAB}$
$\frac{a}{\sin 120^{\circ }}=\frac{R}{\sin 30^{\circ }}$

Оскільки $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, маємо:
$R=\frac{a\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{a\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Обчислимо довжину дуги при $\alpha =120^{\circ }$:
$l=\frac{\pi R\cdot 120^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{2\pi R}{3}=\frac{2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}}{3}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{9}$

Відповідь:

1) $\frac{\pi a}{3}$;

2) $\frac{\pi a\sqrt{2}}{4}$;

3) $\frac{2\pi a\sqrt{3}}{9}$.