Завдання № 16.24. § 16. Довжина кола. Довжина дуги кола (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Хорда завдовжки $6\sqrt{2}\text{ см}$ стягує дугу кола, градусна міра якої становить $90^{\circ }$. Знайдіть довжину кола.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення центрального кута
Нехай хорда $AB=6\sqrt{2}\text{ см}$ стягує дугу $AB$, градусна міра якої дорівнює $90^{\circ }$.

Оскільки градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається, маємо:
$\angle AOB=90^{\circ }$
де точка $O$ — центр кола.

2. Знаходження радіуса кола
Відрізки $OA$ та $OB$ є радіусами кола ($OA=OB=R$).
Отже, трикутник $AOB$ є прямокутним і рівнобедреним з прямим кутом при вершині $O$.

За теоремою Піфагора для $△AOB$:
$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$

Підставимо відомі значення:
$R^2+R^2=(6\sqrt{2}{)}^2$
$2\cdot R^2=36\cdot 2$
$2\cdot R^2=72$
$R^2=\frac{72}{2}=36$

Оскільки довжина радіуса є додатним числом ($R>0$):
$R=\sqrt{36}=6\text{ см}$

3. Обчислення довжини кола
Формула довжини кола має вигляд:
$C=2\cdot \pi \cdot R$

Підставимо знайдений радіус $R=6\text{ см}$:
$C=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi \text{ см}$

Якщо використати наближене значення $\pi \approx 3,14$:
$C\approx 12\cdot 3,14=37,68\text{ см}$

Відповідь: $12\pi \text{ см}$ (або приблизно $37,68\text{ см}$).