Завдання № 15. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Складіть рівняння кола радіуса $10$ , що дотикається до кола $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ у точці $A (3; 1)$ .

Покроковий розв’язок:

1. Зведення рівняння заданого кола до канонічного вигляду

Виділимо повний квадрат для змінної $y$ :
$x^{2} + (y^{2} - 10 y + 25) - 25 = 0$
$x^{2} + (y - 5)^{2} = 25$
$x^{2} + (y - 5)^{2} = 5^{2}$

Отже, задане коло має центр у точці $O (0; 5)$ та радіус $R = 5$ .

Перевіримо, чи належить точка $A (3; 1)$ даному колу:
$3^{2} + (1 - 5)^{2} = 9 + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25$
Рівність є правильною, отже, точка $A (3; 1)$ справді лежить на колі.

2. Геометричне розташування центрів кіл

За властивістю кіл, що дотикаються, центри обох кіл та точка їхнього дотику лежать на одній прямій (лінії центрів).

Знайдемо координати вектора $O A$ :
$O A = (3 - 0; 1 - 5) = (3; - 4)$
Його довжина дорівнює радіусу початкового кола:
$∣ O A ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

Шукане коло має радіус $R_{1} = 10$ . Оскільки кола дотикаються в точці $A$ , можливі два випадки дотику: внутрішній та зовнішній.

3. Випадок 1: Внутрішній дотик кіл

При внутрішньому дотику більше коло радіуса $10$ містить у собі менше коло радіуса $5$ . Оскільки радіус шуканого кола вдвічі більший за радіус даного ( $R_{1} = 2 \cdot R$ ), центр даного кола $O (0; 5)$ є серединою відрізка $A O_{1}$ , де $O_{1} (x_{1}; y_{1})$ — центр шуканого кола:
$A O_{1} = 2 \cdot A O = - 2 \cdot O A = - 2 \cdot (3; - 4) = (- 6; 8)$

Обчислимо координати точки $O_{1}$ :
$x_{1} = 3 + (- 6) = - 3$
$y_{1} = 1 + 8 = 9$

Отримуємо координати центру $O_{1} (- 3; 9)$ . Рівняння кола має вигляд:
$(x - (- 3))^{2} + (y - 9)^{2} = 1 0^{2}$
$(x + 3)^{2} + (y - 9)^{2} = 100$

4. Випадок 2: Зовнішній дотик кіл

При зовнішньому дотику центри кіл лежать по різні боки від точки дотику $A$ . Центр $O_{2} (x_{2}; y_{2})$ лежить на промені $O A$ на відстані $10$ від точки $A$ :
$A O_{2} = 2 \cdot O A = 2 \cdot (3; - 4) = (6; - 8)$

Обчислимо координати точки $O_{2}$ :
$x_{2} = 3 + 6 = 9$
$y_{2} = 1 + (- 8) = - 7$

Отримуємо координати центру $O_{2} (9; - 7)$ . Рівняння кола має вигляд:
$(x - 9)^{2} + (y - (- 7))^{2} = 1 0^{2}$
$(x - 9)^{2} + (y + 7)^{2} = 100$

Відповідь:
$(x + 3)^{2} + (y - 9)^{2} = 100$ або $(x - 9)^{2} + (y + 7)^{2} = 100$

Завдання № 15. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку