Завдання № 15. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — прямокутний паралелепіпед (мал. 1). Назвіть:

1) площину, паралельну площині $\alpha$;

2) чотири площини, перпендикулярні до площини $\alpha$.

Покроковий розв’язок:

За малюнком площина $\alpha$ містить нижню основу прямокутного паралелепіпеда, тобто збігається з площиною грані $ABCD$.

1. Пошук площини, паралельної площині $\alpha$

Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда лежать у паралельних площинах. Протилежною до нижньої основи $ABCD$ є верхня основа $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

Отже, площиною, паралельною до площини $\alpha$, є площина верхньої основи: $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (або площина $A_1{B}_1{C}_1$).

2. Пошук площин, перпендикулярних до площини $\alpha$

Бічні ребра прямокутного паралелепіпеда ($A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$, $D{D}_1$) перпендикулярні до площин його основ, зокрема й до площини $\alpha$.

За ознакою перпендикулярності площин: якщо площина проходить через пряму, яка перпендикулярна до іншої площини, то ці дві площини є перпендикулярними.

Оскільки бічні грані містять бічні ребра, кожна з чотирьох бічних граней паралелепіпеда перпендикулярна до площини $\alpha$:

• площина передньої грані $A{A}_1{D}_{1}D$ (або $AD{D}_1{A}_1$);
• площина правої бічної грані $D{D}_1{C}_{1}C$ (або $CD{D}_1{C}_1$);
• площина задньої грані $B{B}_1{C}_{1}C$ (або $BC{C}_1{B}_1$);
• площина лівої бічної грані $A{A}_1{B}_{1}B$ (або $AB{B}_1{A}_1$).

Відповідь:

1) Площина $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$;

2) площини $AB{B}_1{A}_1$, $BC{C}_1{B}_1$, $CD{D}_1{C}_1$, $DA{A}_1{D}_1$.