Завдання № 15. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть відношення площ квадрата, правильного трикутника і правильного шестикутника, вписаних в одне й те саме коло.

Покроковий розв’язок:

Нехай $R$ — радіус кола, у яке вписано правильні многокутники.

1. Площа квадрата ($S_4$)
Діагональ вписаного квадрата дорівнює діаметру кола: $d=2R$.
Сторона квадрата $a_4$ виражається через радіус описаного кола за формулою:
$a_4=R\sqrt{2}$
Обчислимо площу квадрата:
$S_4=a_4^2=(R\sqrt{2}{)}^2=2R^2$

2. Площа правильного трикутника ($S_3$)
Сторона правильного трикутника, вписаного в коло радіуса $R$, дорівнює:
$a_3=R\sqrt{3}$
Площа правильного трикутника зі стороною $a_3$ обчислюється за формулою:
$S_3=\frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(R\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{4}$

3. Площа правильного шестикутника ($S_6$)
Сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу кола:
$a_6=R$
Правильний шестикутник складається із $6$ рівних правильних трикутників зі стороною $R$. Його площа дорівнює:
$S_6=6\cdot \frac{a_6^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}$

4. Знаходження відношення площ $S_4:S_3:S_6$
Складемо відношення площ у порядку, вказаному в умові задачі (квадрат, трикутник, шестикутник):
$S_4:S_3:S_6=2R^2:\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{4}:\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}$

Поділимо кожен член відношення на спільний множник $R^2$:
$2:\frac{3\sqrt{3}}{4}:\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Зведемо дроби до спільного знаменника $4$, помноживши кожен член відношення на $4$:
$(2\cdot 4):\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 4\right):\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4\right)=8:3\sqrt{3}:6\sqrt{3}$

Відповідь:
$8:3\sqrt{3}:6\sqrt{3}$