Завдання № 15. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює $m$, а кут при основі дорівнює $\alpha$. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якому основа $AC=m$, бічні сторони $AB=BC$, а кути при основі $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Проведено медіану $AK$ до бічної сторони $BC$, тобто точка $K$ ділить сторону $BC$ навпіл ($BK=KC$). Знайдемо довжину відрізка $AK$.

1. Знаходження довжини бічної сторони трикутника

Проведемо висоту $BM\perp AC$. Оскільки в рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є також його медіаною, то точка $M$ є серединою основи $AC$:
$MC=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△BMC$ ($\angle BMC=90^{\circ }$). За означенням косинуса гострого кута:
$\cos \alpha =\frac{MC}{BC}⟹BC=\frac{MC}{\cos \alpha }=\frac{m}{2\cos \alpha }$

2. Знаходження довжини відрізка $KC$

Оскільки $AK$ — медіана трикутника $△ABC$, проведена до сторони $BC$, то:
$KC=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{2\cos \alpha }=\frac{m}{4\cos \alpha }$

3. Знаходження довжини медіани $AK$ за теоремою косинусів

Розглянемо трикутник $△AKC$. У ньому відомі дві сторони та кут між ними: $AC=m$, $KC=\frac{m}{4\cos \alpha }$ та $\angle C=\alpha$.

За теоремою косинусів:
$A{K}^2=A{C}^2+K{C}^2-2\cdot AC\cdot KC\cdot \cos \alpha$

Підставимо відомі вирази:

Зведемо доданки до спільного знаменника $16{\cos }^2\alpha$:
$A{K}^2=\frac{8m^2{\cos }^2\alpha +m^2}{16{\cos }^2\alpha }=\frac{m^2(8{\cos }^2\alpha +1)}{16{\cos }^2\alpha }$

Оскільки довжина відрізка є додатною величиною, добудемо квадратний корінь:
$AK=\sqrt{\frac{m^2(8{\cos }^2\alpha +1)}{16{\cos }^2\alpha }}=\frac{m\sqrt{8{\cos }^2\alpha +1}}{4\cos \alpha }$

Відповідь:
$\frac{m\sqrt{8{\cos }^2\alpha +1}}{4\cos \alpha }$