Завдання № 15. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У паралелограмі $ABCD$ бісектриса кута $A$ ділить сторону $BC$ на відрізки $BK=4\text{ см}$ і $KC=6\text{ см}$. Знайдіть периметр паралелограма.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження кутів та визначення виду трикутника $△ABK$

За означенням паралелограма протилежні сторони паралельні: $BC\parallel AD$.

Розглянемо паралельні прямі $BC$ і $AD$ та січну $AK$. Кути $\angle BKA$ та $\angle KAD$ є внутрішніми різносторонніми, отже:
$\angle BKA=\angle KAD$

Оскільки промінь $AK$ є бісектрисою кута $A$, він ділить його навпіл:
$\angle BAK=\angle KAD$

Порівнюючи ці дві рівності, отримуємо:
$\angle BAK=\angle BKA$

У трикутнику $△ABK$ два кути рівні ($\angle BAK=\angle BKA$), тому за ознакою рівнобедреного трикутника він є рівнобедреним з основою $AK$.

2. Знаходження сторін паралелограма

Оскільки $△ABK$ рівнобедрений, його бічні сторони рівні:
$AB=BK=4\text{ см}$

За умовою точка $K$ лежить на стороні $BC$, отже, довжина сторони $BC$ дорівнює сумі відрізків:
$BC=BK+KC=4+6=10\text{ см}$

За властивістю паралелограма протилежні сторони попарно рівні:
$CD=AB=4\text{ см}$
$AD=BC=10\text{ см}$

3. Обчислення периметра паралелограма

Периметр паралелограма обчислюється за формулою:
$P=2\cdot (AB+BC)$

Підставимо отримані значення:
$P=2\cdot (4+10)=2\cdot 14=28\text{ см}$

Відповідь:
$28\text{ см}$