Завдання № 15.43. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відстані від точки перетину медіан до вершин гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють $673 см$ і $1213 см$ . Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість точки перетину медіан трикутника

Нехай у прямокутному трикутнику $△ A B C$ кут $∠ C = 9 0^{\circ}$ , а $A$ і $B$ — вершини гострих кутів. Відрізки $A K$ і $B P$ — медіани, проведені до відповідних катетів $B C$ і $A C$ , а точка $O$ — точка їхнього перетину (центроїд трикутника).

За умовою:
$O A = 673 см, O B = 1213 см$

За властивістю медіан трикутника, точка їхнього перетину ділить кожну медіану у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від вершини:
$O A = \frac{2}{3} A K ⟹ A K = \frac{3}{2} \cdot O A = \frac{3}{2} \cdot 673 = 973 см$
$O B = \frac{2}{3} B P ⟹ B P = \frac{3}{2} \cdot O B = \frac{3}{2} \cdot 1213 = 1813 см$

2. Складання та розв’язування системи рівнянь

Оскільки $K$ і $P$ — середини катетів $B C$ і $A C$ , позначимо:
$C K = x ⟹ B C = 2 x$
$C P = y ⟹ A C = 2 y$

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутних трикутників $△ A C K$ та $△ P C B$ :

1) 3 прямокутного трикутника $△ A C K$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ):
$A C^{2} + C K^{2} = A K^{2}$
$(2 y)^{2} + x^{2} = (973)^{2}$
$4 y^{2} + x^{2} = 81 \cdot 73 = 5913$

2) 3 прямокутного трикутника $△ P C B$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ):
$C P^{2} + B C^{2} = B P^{2}$
$y^{2} + (2 x)^{2} = (1813)^{2}$
$y^{2} + 4 x^{2} = 324 \cdot 13 = 4212$

Складемо систему рівнянь:

{4 y^{2} + x^{2} = 5913 y^{2} + 4 x^{2} = 4212

Додамо обидва рівняння системи почленно:
$5 x^{2} + 5 y^{2} = 10125$
$x^{2} + y^{2} = 2025$

3. Знаходження гіпотенузи та радіуса описаного кола

За теоремою Піфагора для початкового трикутника $△ A B C$ :
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} = (2 y)^{2} + (2 x)^{2} = 4 y^{2} + 4 x^{2} = 4 (x^{2} + y^{2})$

Підставимо отримане значення $x^{2} + y^{2} = 2025$ :
$A B^{2} = 4 \cdot 2025 = 8100$
$A B = 8100 = 90 см$

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи, а його радіус $R$ дорівнює половині гіпотенузи:
$R = \frac{A B}{2} = \frac{90}{2} = 45 см$

Відповідь:
$45 см$

Завдання № 15.43. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку