Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Периметр трапеції дорівнює , а точка дотику вписаного в неї кола ділить бічну сторону на відрізки завдовжки і . Знайдіть площу цієї трапеції.
Покроковий розв’язок:
Нехай задано трапецію з основами і (). У трапецію вписано коло із центром у точці .
Точка — точка дотику кола до бічної сторони , причому , .
1. Знаходження довжини бічної сторони та суми основ трапеції:
Довжина сторони :
За властивістю описаного чотирикутника, суми протилежних сторін чотирикутника, в який можна вписати коло, є рівними:
Оскільки периметр , маємо:
2. Знаходження проекції бічної сторони на основу :
Позначимо точки дотику вписаного кола до основ та через і відповідно.
За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, відрізки дотичних від вершини до точок дотику рівні між собою:
Проведемо висоту трапеції . Відрізок , що сполучає точки дотику кола до паралельних основ та , є діаметром вписаного кола і перпендикулярний до цих основ ( та ).
Оскільки та , відрізки та паралельні між собою (). Чотирикутник має прямі кути й протилежні паралельні сторони, отже, він є прямокутником. Звідси:
Знайдемо довжину відрізка :
3. Обчислення висоти трапеції:
Розглянемо прямокутний трикутник (). За теоремою Піфагора:
Отже, висота трапеції .
(Примітка: радіус кола також можна знайти з прямокутного трикутника , де є висотою, опущеною на гіпотенузу: , тоді висота трапеції дорівнює діаметру кола ).
4. Обчислення площі трапеції:
Площу трапеції обчислюємо за формулою:
Відповідь: .