Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Дві хорди перетинаються всередині круга. Відрізки, на які точка перетину ділить одну з хорд, дорівнюють і . Знайдіть відрізки, на які ця точка ділить другу хорду, якщо:
1) вони між собою рівні;
2) один із них на більший за інший.
Покроковий розв’язок:
Нехай задано коло з центром у точці , у якому хорди і перетинаються в точці .
За умовою точка ділить хорду на відрізки та .
За теоремою про пропорційність відрізків хорд, що перетинаються, якщо дві хорди перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків другої хорди:
Обчислимо добуток відомих відрізків:
Отже, для обох випадків має виконуватися рівність:
1. Випадок, коли відрізки другої хорди рівні між собою:
За умовою . Тоді:
Оскільки довжина відрізка є додатним числом ():
Тоді й .
2. Випадок, коли один із відрізків на більший за інший:
Нехай менший відрізок (), тоді більший відрізок .
Складемо та розв’яжемо рівняння за теоремою про хорди:
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
Обчислимо корені рівняння:
Корінь не задовольняє геометричний зміст задачі, оскільки довжина відрізка не може бути від’ємною.
Отже, , звідки:
Відповідь:
1) і ;
2) і .