Завдання № 15.38. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть косинуси кутів трикутника, сторони якого дорівнюють $7\text{ см}$, $8\text{ см}$ і $10\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай у трикутнику довжини сторін дорівнюють:
$a=7\text{ см}$, $b=8\text{ см}$, $c=10\text{ см}$.

Позначимо кути трикутника, що лежать проти відповідних сторін, як $\alpha$, $\beta$ і $\gamma$ (тобто кут $\alpha$ лежить проти сторони $a$, кут $\beta$ — проти сторони $b$, кут $\gamma$ — проти сторони $c$).

1. Знаходження косинуса кута $\gamma$

За теоремою косинусів для сторони $c$:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma$

Звідси виражаємо $\cos \gamma$:
$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b}$

Підставимо значення сторін:
$\cos \gamma =\frac{7^2+8^2-10^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{49+64-100}{112}=\frac{13}{112}\approx 0,1161$

2. Знаходження косинуса кута $\beta$

За теоремою косинусів для сторони $b$:
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

Звідси виражаємо $\cos \beta$:
$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}$

Підставимо значення сторін:
$\cos \beta =\frac{7^2+10^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 10}=\frac{49+100-64}{140}=\frac{85}{140}$

Скоротимо отриманий дріб на $5$:
$\cos \beta =\frac{17}{28}\approx 0,6071$

3. Знаходження косинуса кута $\alpha$

За теоремою косинусів для сторони $a$:
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Звідси виражаємо $\cos \alpha$:
$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}$

Підставимо значення сторін:
$\cos \alpha =\frac{8^2+10^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 10}=\frac{64+100-49}{160}=\frac{115}{160}$

Скоротимо отриманий дріб на $5$:
$\cos \alpha =\frac{23}{32}\approx 0,7188$

Відповідь:
$\frac{23}{32}$; $\frac{17}{28}$; $\frac{13}{112}$ (або наближено: $0,7188$; $0,6071$; $0,1161$).