Завдання № 15.36. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кути квадрата, сторона якого дорівнює $(2+\sqrt{2})\text{ см}$, зрізали так, що утворився правильний восьмикутник. Знайдіть його сторону.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз утвореної геометричної конфігурації

Нехай $ABCD$ — початковий квадрат зі стороною $AB=BC=CD=AD=2+\sqrt{2}\text{ см}$.

Під час зрізання чотирьох кутів квадрата утворився правильний восьмикутник. Позначимо довжину його сторони через $x\text{ см}$. Відповідно, усі вісім сторін отриманого многокутника є рівними між собою, тобто $MP=KM=x$.

2. Дослідження кутових трикутників

Розглянемо трикутник $△KAM$, відсічений у вершині $A$:

• Оскільки кут квадрата $\angle A=90^{\circ }$, то трикутник $△KAM$ є прямокутним.
• З симетрії правильного восьмикутника відрізки, що відсікаються від сторін кожного кута, є рівними: $AK=AM$. Отже, $△KAM$ — рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою $KM=x$.
• Гострі кути цього трикутника становлять $\angle AKM=\angle AMK=45^{\circ }$.

Виразимо довжину катета $AM$ через гіпотенузу $x$:
$AM=KM\cdot \cos 45^{\circ }=x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}\text{ см}$

Аналогічно, для зрізаного кута біля вершини $B$ маємо:
$PB=\frac{x\sqrt{2}}{2}\text{ см}$

3. Складання рівняння для сторони квадрата

Сторона квадрата $AB$ складається з трьох відрізків:
$AB=AM+MP+PB$

Підставимо у цю рівність вирази через $x$ та відому довжину сторони квадрата:
$\frac{x\sqrt{2}}{2}+x+\frac{x\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$

Зведемо подібні доданки:
$x\sqrt{2}+x=2+\sqrt{2}$

Винесемо спільні множники за дужки:
$x(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$

Поділимо обидві частини рівняння на спільний додатний множник $(\sqrt{2}+1)$:
$x=\sqrt{2}\text{ см}$

Отже, сторона правильного восьмикутника дорівнює $\sqrt{2}\text{ см}$.

Відповідь: $\sqrt{2}\text{ см}$.