Завдання № 15.35. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Сторона правильного дванадцятикутника дорівнює $3\sqrt{2-\sqrt{3}}\text{ см}$. Знайдіть його площу.

Покроковий розв’язок:

1. Центральний кут правильного дванадцятикутника

Нехай точка $O$ — центр кола, описаного навколо даного правильного дванадцятикутника, а відрізок $AB$ — одна з його сторін ($AB=a=3\sqrt{2-\sqrt{3}}\text{ см}$).

Оскільки многокутник правильний і має $12$ сторін, його центральний кут $\angle AOB$, що спирається на сторону $AB$, дорівнює:
$\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{12}=30^{\circ }$

2. Обчислення радіуса описаного кола

Розглянемо трикутник $△AOB$. Він є рівнобедреним з бічними сторонами $OA=OB=R$, де $R$ — радіус описаного кола.

За теоремою косинусів для сторони $AB$:
$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$

Підставимо відомі величини:
$(3\sqrt{2-\sqrt{3}}{)}^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 30^{\circ }$

Враховуючи, що $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, спростимо вираз:
$9(2-\sqrt{3})=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$9(2-\sqrt{3})=2R^2-R^2\sqrt{3}$
$9(2-\sqrt{3})=R^2(2-\sqrt{3})$

Поділимо обидві частини рівняння на $(2-\sqrt{3})\ne 0$:
$R^2=9$

Оскільки довжина радіуса є додатною величиною ($R>0$):
$R=3\text{ см}$

3. Знаходження площі дванадцятикутника

Правильний дванадцятикутник складається з $12$ рівних рівнобедрених трикутників, рівновеликих $△AOB$.

Знайдемо площу одного такого трикутника через дві сторони та синус кута між ними:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \sin 30^{\circ }$
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{4}{\text{ см}}^2$

Тоді площа правильного дванадцятикутника становить:
$S=12\cdot S_{△AOB}=12\cdot \frac{9}{4}=3\cdot 9=27{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$27{\text{ см}}^2$