Завдання № 15.34. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона правильного восьмикутника дорівнює $4\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{ см}$. Знайдіть його площу.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості правильного восьмикутника
Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло. Нехай точка $O$ — центр описаного кола, а $AB$ — одна зі сторін правильного восьмикутника, тобто:
$AB=4\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{ см}$

Відрізки $OA$ та $OB$ є радіусами описаного кола ($OA=OB=R$). Вони утворюють рівнобедрений трикутник $△AOB$.
Центральний кут, що спирається на сторону восьмикутника, дорівнює:
$\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$

2. Знаходження радіуса описаного кола
Застосуємо теорему косинусів для трикутника $△AOB$:
$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \angle AOB$

Підставимо значення сторін і кута:
${\left(4\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)}^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 45^{\circ }$

$16\cdot (2-\sqrt{2})=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$16(2-\sqrt{2})=2R^2-R^2\sqrt{2}$

Винесемо $R^2$ за дужки в правій частині рівняння:
$16(2-\sqrt{2})=R^2(2-\sqrt{2})$

Оскільки $2-\sqrt{2}\ne 0$, поділимо обидві частини рівності на $(2-\sqrt{2})$:
$R^2=16$

Оскільки довжина радіуса є додатною величиною ($R>0$):
$R=4\text{ см}$

3. Обчислення площі одного трикутника
Площу трикутника $△AOB$ знайдемо за формулою половини добутку двох сторін на синус кута між ними:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \angle AOB$

$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 45^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

4. Обчислення площі восьмикутника
Правильний восьмикутник складається з $8$ рівновеликих трикутників, рівних трикутнику $△AOB$:
$S=8\cdot S_{△AOB}=8\cdot 4\sqrt{2}=32\sqrt{2}{\text{ см}}^2$

Відповідь: $32\sqrt{2}{\text{ см}}^2$.