Завдання № 15.33. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює $2\sqrt{3}\text{ см}$, а радіус кола, описаного навколо нього, — $4\text{ см}$. Знайдіть кількість вершин многокутника та довжину його сторони.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель та побудова прямокутного трикутника

Нехай задано правильний $n$-кутник із центром у точці $O$, де відрізок $AB$ — одна з його сторін.

• Радіус описаного кола $R=OA=OB=4\text{ см}$.
• Проведемо перпендикуляр $OK$ з центра $O$ до сторони $AB$. Оскільки трикутник $△AOB$ є рівнобедреним ($OA=OB=R$), висота $OK$ є також його медіаною та бісектрисою кута $\angle AOB$, а її довжина дорівнює радіусу вписаного кола: $r=OK=2\sqrt{3}\text{ см}$.

2. Обчислення центрального кута та кількості вершин

Розглянемо прямокутний трикутник $△AOK$ ($\angle OKA=90^{\circ }$):
За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:
$\cos \angle AOK=\frac{OK}{OA}=\frac{r}{R}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Оскільки кут $\angle AOK$ гострий, маємо:
$\angle AOK=30^{\circ }$

Оскільки відрізок $OK$ є бісектрисою рівнобедреного трикутника $△AOB$, центральний кут правильного многокутника дорівнює:
$\angle AOB=2\cdot \angle AOK=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$

Сума всіх центральних кутів правильного многокутника становить $360^{\circ }$. Отже, кількість сторін (і, відповідно, кількість вершин) дорівнює:
$n=\frac{360^{\circ }}{\angle AOB}=\frac{360^{\circ }}{60^{\circ }}=6$

Таким чином, многокутник є правильним шестикутником.

3. Знаходження довжини сторони многокутника

Знайдемо сторону многокутника $AB$:
У прямокутному трикутнику $△AOK$:
$AK=OA\cdot \sin \angle AOK=4\cdot \sin 30^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2\text{ см}$

Оскільки точка $K$ є серединою відрізка $AB$:
$AB=2\cdot AK=2\cdot 2=4\text{ см}$

(Також відомо, що сторона правильного шестикутника завжди дорівнює радіусу описаного навколо нього кола: $a_6=R=4\text{ см}$).

Відповідь: $6\text{ вершин}$, $4\text{ см}$.