Завдання № 15.32. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює $12\text{ см}$, а радіус вписаного в нього кола — $6\sqrt{2}\text{ см}$. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Нехай задано правильний $n$-кутник із центром у точці $O$, де відрізок $AB$ — одна з його сторін довжиною $a_n$.
З’єднаємо центр $O$ з вершинами $A$ і $B$. Отриманий трикутник $△AOB$ є рівнобедреним, оскільки його бічні сторони дорівнюють радіусу описаного кола:
$OA=OB=R=12\text{ см}$

Проведемо відрізок $OK\perp AB$. Відрізок $OK$ є відстанню від центра многокутника до його сторони, тобто радіусом вписаного кола:
$OK=r=6\sqrt{2}\text{ см}$

Оскільки трикутник $△AOB$ — рівнобедрений ($OA=OB$), висота $OK$, проведена до основи $AB$, є також його медіаною та бісектрисою. Отже:
$AK=KB=\frac{AB}{2},\angle AOB=2\cdot \angle AOK$

2. Обчислення довжини сторони многокутника

Розглянемо прямокутний трикутник $△AOK$ ($\angle AKO=90^{\circ }$).
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:
$AK=\sqrt{O{A}^2-O{K}^2}$

Підставимо числові дані:
$AK=\sqrt{12^2-(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{144-36\cdot 2}=\sqrt{144-72}=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\text{ см}$

Оскільки точка $K$ є серединою відрізка $AB$, знаходимо сторону $AB$:
$AB=2\cdot AK=2\cdot 6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\text{ см}$

3. Знаходження кількості сторін многокутника

У прямокутному трикутнику $△AOK$ відношення прилеглого катета $OK$ до гіпотенузи $OA$ дорівнює косинусу кута $\angle AOK$:
$\cos \angle AOK=\frac{OK}{OA}=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Звідси:
$\angle AOK=45^{\circ }$

Оскільки відрізок $OK$ є бісектрисою кута $\angle AOB$, обчислимо величину центрального кута правильного многокутника:
$\angle AOB=2\cdot \angle AOK=2\cdot 45^{\circ }=90^{\circ }$

Центральний кут правильного $n$-кутника пов’язаний з кількістю його сторін формулою $\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{n}$. Звідси:
$n=\frac{360^{\circ }}{\angle AOB}=\frac{360^{\circ }}{90^{\circ }}=4$

Таким чином, даний многокутник має $4$ сторони (є правильним чотирикутником, тобто квадратом).

Відповідь:
$4$ сторони; сторона дорівнює $12\sqrt{2}\text{ см}$.